累积分布函数

的累积分布函数]]
的累积分布函数]]

累积分布函数（，CDF）或概率分布函数，简称分布函数，是概率密度函數的积分，能完整描述一個實随机变量X的概率分佈。

所有基于实数的概率分布函数，无论离散或连续， 有且仅有唯一的向右单调递增的连续函数（即右连左极函数）F \colon \mathbb R \rightarrow [0,1], 且满足\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0以及\lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=1。

在標量連續分佈的情況下，它給出了從負無窮到x的概率密度函數下的面積。 累積分佈函數也用於指定的分佈。

定義
對於所有實數值的随机变量X ，累积分布函数定義如下：
{{Equation box 1
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|equation = {{NumBlk||F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)|}}
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其中右侧表示随机变量X取值小于或等于x的概率。

對於X位于半闭区间(a,b] 的概率，其中a ，因此定義是
**\lim_{x\to -\infty}F_X(x)=0
**\lim_{x\to +\infty}F_X(x)=1

• 單調性：

**F_X(x_1) \le F_X(x_2),\ \mbox{if} \, x_1
*右連續性：
**\lim_{x \rightarrow x_0^+} F_X(x) = F_X(x_0)
X之值落在一區間(a,b]之內的機率為
:\operatorname{P}(a
一隨機變數X的CDF與其PDF的關係為
:F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt

反函数
若累积分布函数 F 是连续的严格增函数，则存在其反函数 F^{-1}( y ), y \in [0,1] 。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若F_X(x)是概率分布X的累积分布函数，并存在反函数F_X^{-1}。若a是[0,1)区间上均匀分布的随机变量，则F_X^{-1}(a)服从X分布。

互补累积分布函数
互补累積分布函数（complementary cumulative distribution function、CCDF），是对连续函数，所有大于a的值，其出现概率的和。

: F(a)=P(x>a)

參見
*機率密度函數
*機率質量函數

參考