幾何分佈

{{Probability distribution two
| name = 幾何分布
| type = 質量
| pdf_image =
| cdf_image =
| parameters = 0成功概率（实）
| support = k \in \{1,2,3,\dots\}\!
| pdf = (1 - p)^{k-1}\,p\!
| cdf = 1-(1 - p)^k\!
| mean = \frac{1}{p}\!
| median = \left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\!（如果-1/\log_2(1-p)是整数，则中位数不唯一）
| mode = 1
| variance = \frac{1-p}{p^2}\!
| skewness = \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!
| kurtosis = 6+\frac{p^2}{1-p}\!
| entropy = \tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\!
| mgf = \frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!,
for t
| char = \frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\!
| parameters2 = 0成功概率（实）
| support2 = k \in \{0,1,2,3,\dots\}\!
| pdf2 = (1 - p)^{k}\,p\!
| cdf2 = 1-(1 - p)^{k+1}\!
| mean2 = \frac{1-p}{p}\!
| median2 = \left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\! - 1（如果-1/\log_2(1-p)是整数，则中位数不唯一）
| mode2 = 0
| variance2 = \frac{1-p}{p^2}\!
| skewness2 = \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!
| kurtosis2 = 6+\frac{p^2}{1-p}\!
| entropy2 = \tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\!
| mgf2 = \frac{p}{1-(1-p)e^t}\!
| char2 = \frac{p}{1-(1-p)\,e^{it}}\!
}}
在概率论和统计学中，幾何分佈（）指的是以下两种離散型機率分布中的一种：

• 在伯努利試驗中，得到一次成功所需要的試驗次数X。X的值域是{ 1, 2, 3, ... }
• 在得到第一次成功之前所经历的失败次数Y=X-1。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。

这两种分布不应该混淆。前一种形式（X的分布）经常被称作shifted geometric distribution；但是，为了避免歧义，最好明确地说明取值范围。

如果每次试验的成功概率是p，那么k次试验中，第k次才得到成功的概率是，

:\Pr(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p\,

其中k=1,2,3,\ldots.

上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式，也就是第一次成功之前所失败的次数，可以写为，

:\Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,

其中k=0,1,2,3,\ldots

两种情况产生的序列都是几何数列。这是几何分布的名字来源。

比如，假设不停地掷骰子，直到得到1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个p=\frac{1}{6}的几何分布。

性质
呈几何分布的随机变量X的期望值是1/p，方差是 （1-p)/p2:

:\mathrm{E}(X) = \frac{1}{p},
\qquad\mathrm{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.

幾何分布具有非記憶性的性質（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）

這表示如果一個隨機變數呈幾何分布，它的條件機率遵循：
:P(T > s + t\; |\; T > t) = P(T > s) \;\; \hbox{for all}\ s, t ∈ℕ.

记号
若随机变量\mathit{X}服从参数为\mathit{p}的几何分布，则记为X \sim G(p).

用途
在重复多次的伯努利試驗中，试验进行到某种结果出现第一次为止，此时的试验总次数服从几何分布，如：射击，首次击中目标时的次数。

參見

• 機率分布

*超几何分布
*負二項分布
*指數分布