数学上讲，矩阵函数是把矩阵映射到另一个矩阵的函数。
将标量函数拓展为矩阵函数
指数级数
如果实值函数 具有泰勒展开
:f(x) = f(0) + f'(0)\cdot x + f*(0)\cdot \frac{x^2}{2!} + \cdots
那么矩阵函数可以通过用矩阵替换自变量x得到：指数运算变成矩阵指数，加法变成矩阵和，与标量系数的乘法变成矩阵和标量的乘法。如果实级数在|x| 时收敛，那么其对应的关于A的矩阵级数也将收敛，如果在某个满足\|AB\|\leq \|A\|\cdot\|B\|的矩阵范数\|\cdot\|上满足\|A\| 。
可对角化矩阵
如果矩阵A是可对角化矩阵，则结果可以简化为一个由各个特征值的函数值构成的矩阵。换句话说，假设我们可以找到矩阵P和对角阵D，使得A = P\cdot D\cdot P^{-1}，那么
把指数级数的定义用到这个分解上，我们可以得到
:f(A) = P \begin{bmatrix}
f(d_1) & \dots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & f(d_n)
\end{bmatrix} P^{-1} ~,
其中d_1, \dots, d_n表示D的对角元素。
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參考資料
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