在分析力學裏，施加於某物體的作用力，由於給定的虛位移，所做的機械功，稱為虛功（）。以方程式表達，虛功\delta W是
:\delta W= \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}；
其中，\mathbf{F}是作用力，\delta \mathbf{r}是虛位移。
在這篇文章裏，位移指的是平移運動所造成的位移或旋轉運動所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虛位移不是實際的位移，而是一種虛構的、理論上的位移，是一種只涉及位置，不涉及時間的變化。每一個虛位移既是自變量（），又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性，在數學關係式裏，能夠推導出許多重要的結果。例如，思考下述矩陣方程式：
:\mathbf{R}^{T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{T} \mathbf{B} \mathbf{q}；
其中，\mathbf{R},\ \mathbf{r},\ \mathbf{q}都是向量，\mathbf{B}是方塊矩陣。
假若，\mathbf{R}是個任意非零向量，則可以將任意項目\mathbf{R}從方程式中除去，得到 \mathbf{r} = \mathbf{B} \mathbf{q} 。
虛功原理
虛功原理闡明，一個物理系統處於靜態平衡（），若且唯若，所有施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所做的虛功的總和等於零。以方程式表達，
:\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0。
考慮一個由一群質點組成，呈靜態平衡的物理系統，其內部任意一個質點P_i可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和\mathbf {F}_{i}^{(T)}等於零：
:\mathbf {F}_{i}^{(T)} = 0。
給予這質點P_i 虛位移\delta \mathbf r_i，則合力\mathbf {F}_{i}^{(T)}所做的虛功\delta W_i為零：
:\delta W_i = \mathbf{F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0。
總合這系統內做於每一個質點的虛功，其答案也是零：
:\delta W = \sum_{i}\ \mathbf{F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0。
將合力細分為外力\mathbf F_i與約束力\mathbf C_i：
:\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i + \sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0。
假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零：
:\sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0，
則約束力項目可以從方程式中除去，從而得到虛功原理的方程式：
:\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0。
注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設為反作用力的虛功假設：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從牛頓運動定律推導出來。
在動力學裏，虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。更詳盡細節，請參閱相關條目。
適用案例
在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零：
*剛體的約束條件是一種完整約束，以方程式表達，(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=L_{ij}^2；其中，剛體內部的質點P_i、P_j的位置分別為\mathbf{r}_i、\mathbf{r}_j，它們之間的距離L_{ij}是個常數。所以，兩個質點的虛位移\delta\mathbf{r}_i、\delta\mathbf{r}_j之間的關係為
:\delta(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=2(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)(\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)=0。
:在這裏，有兩種可能的狀況：
::1、\delta\mathbf{r}_i=\delta\mathbf{r}_j：
:::對於這狀況，由於\mathbf{C}_{ji}= - \mathbf{C}_{ij}，兩個作用力所做的虛功相互抵銷，也就是說，
::::\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i+\mathbf{C}_{ji}\cdot\delta\mathbf{r}_j=0，
:::所以，約束力所做的虛功的總合是零。
::2、(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)\perp(\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j) :
:::由於\mathbf{C}_{ij}\ \|\ \mathbf{C}_{ji}\ \|\ (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)，
::::\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i+\mathbf{C}_{ji}\cdot\delta\mathbf{r}_j=\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i - \mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_j=\mathbf{C}_{ij}\cdot (\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)=0。
:::所以，約束力所做的虛功的總合是零。
:所以，在剛體內，質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。
*思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直於虛位移，它所作的虛功等於零。。
在位形空間的意義
將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力\mathcal{F}_i和廣義坐標q_i表達，
:\delta W = \sum_{i} \mathcal{F}_i \delta q_i = 0。
設定一個N維位形空間，其坐標為(q_1,q_2,\dots,q_N)，其內中表示位置的點稱為位形點。想像這物理系統移動於這位形空間。在這位形空間裏，廣義力\boldsymbol{\mathcal{F}}=(F_1,F_2,\dots,F_N)垂直於符合約束條件的虛位移\delta\mathbf{q}=(\delta q_1,\delta q_2,\dots,\delta q_N)。
假設，這物理系統沒有任何約束條件，則虛位移可以是任意向量。但是，廣義力\boldsymbol{\mathcal{F}}不可能垂直於N維位形空間裏的每一個向量，所以，廣義力\boldsymbol{\mathcal{F}}必須等於零。
假設，這物理系統有L個約束條件，則自由度為N - L，位形點必需處於位形空間的某N - L維子空間，而廣義力\boldsymbol{\mathcal{F}}必須垂直於這子空間，因此必需使用N - L個運動方程式來表達這物理系統。
保守系統
假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是純量的廣義位勢函數V(q_1,q_2,\dots,q_N)的對於其對應的廣義坐標的負偏導數：
:F_{i} = - \frac{\partial V}{\partial q_i}。
虛功與廣義位勢的關係為
:\delta W = \sum_{i} - \frac{\partial V}{\partial q_i} \delta q_i = - \delta V=0。
由於位勢的變分\delta V等於零，一個靜態平衡系統的位勢V乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這系統處於穩定狀態，則位勢V必須是個局域極小值。
參見
*
*拉格朗日力学
*哈密頓力学
參考文獻
外部連結
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