正矢

{{函數
|name =正矢
|image =Versin_plot_2.svg

|heading1 =1
|parity =偶
|domain = (-∞,∞)
|codomain = [0,2]
|period = 2\pi
（360°）

|heading2 = 1
|zero = 0
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = ((2k+1)\pi, 2)

|min = (2k\pi, 0)

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|f1 =
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|f2 =
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|heading3 = 1
|asymptote = N/A
|root = 2k\pi
（360^\circ k）
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（180^\circ k）
|inflection = k\pi-\tfrac{\pi}{2}
（180^\circ k-90^\circ）
|fixed = 0
|notes = k是一個整數。
}}
上兩種正矢函數（versin和vercos）和兩種餘矢函數（coversin和covercos）的位置]]
正矢（英文：、）是一種三角函數，出現於早期的（如梵语的第一節），其值為1和餘弦函數的差\textrm{versin} \theta = 1 - \cos \theta \,。它的定义域是整个实数集，值域在0到2之間。它是周期函数，其最小正周期为2\pi（360°）。在自变量为(2n+1)\pi（360^\circ n+180^\circ，其中n为整数）时，该函数有极大值2；在自变量为2n\pi（或360^\circ n）时，该函数有极小值0。正矢函数是偶函数，其图像关于 y 轴对称。

概述
正矢函數（或）
是一個三角函數，常計為\textrm{versin}(\theta)、 \textrm{sinver}(\theta)、\textrm{vers}(\theta)、 \textrm{ver}(\theta)或 \textrm{siv}(\theta)。
在拉丁語中，其被稱為（翻轉的正弦）、 、 或 （箭頭）。

其等價定義為：
:
\operatorname{versin}(\theta) = 1 - \cos(\theta) = 2\sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)

相關函數

• 餘的正矢（英文：、），寫為\textrm{vercosin}(\theta)、 \textrm{vercos}(\theta)或 \textrm{vcs}(\theta)。

*: \textrm{vercosin} (\theta) := 2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos (\theta) \,

• 餘矢（英文：、），寫為\operatorname{coversin}(\theta)，有時亦縮寫為\operatorname{cvs}(\theta)。

*: \textrm{coversin}(\theta) := \textrm{versin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 - \sin(\theta) \,

• 餘的餘矢（英文：或 ），寫為\textrm{covercosin}(\theta)、 \textrm{covercos}(\theta)或 \textrm{cvc}(\theta)。

*: \textrm{covercosin}(\theta) := \textrm{vercosin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 + \sin(\theta) \,
與上述四個函數類似，還存在四個“半值”函數：

• 半正矢（英文：, 或 ），寫為\textrm{haversin}(\theta)、 \textrm{semiversin}(\theta)、 \textrm{semiversinus}(\theta)、 \textrm{havers}(\theta)、 \textrm{hav}(\theta)、 \textrm{hvs}(\theta)、 \textrm{sem}(\theta)或 \textrm{hv}(\theta)，因半正矢公式出名，且曾用於導航術。

*: \textrm{haversin}(\theta) := \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos (\theta)}{2} \,

• 餘的半正矢（英文：或 ），寫為\textrm{havercosin}(\theta)、\textrm{havercos}(\theta)、\textrm{hac}(\theta)或 \textrm{hvc}(\theta)，其可運用在訊號處理和機率統計上，參見餘的半正矢應用一節。

*: \textrm{havercosin}(\theta) := \frac {\textrm{vercosin}(\theta)} {2}\,
*:: = \cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos (\theta)}{2} \,

• 半餘矢（英文：、或 ），寫為\textrm{hacoversin}(\theta)、 \textrm{semicoversin}(\theta)、 \textrm{hacovers}(\theta)、 \textrm{hacov}(\theta)或 \textrm{hcv}(\theta)。

*: \textrm{hacoversin}(\theta) := \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \sin (\theta)}{2} \,

• 餘的半餘矢（英文：、 或 ），寫為\textrm{hacovercosin}(\theta)、 \textrm{hacovercos}(\theta)或 \textrm{hcc}(\theta)。

*: \textrm{hacovercosin}(\theta) := \frac {\textrm{covercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \sin (\theta)}{2} \,

歷史與應用
正矢和餘矢
、餘弦和正矢，以半徑為1、中心為O的單位圓表示。該圖也說明了為什麼正矢有時被稱為sagitta（拉丁語中箭頭的意思）。如果把上下角\Delta = 2\theta的弧ADB看成是「弓」，弦AB看成是「弦」，那麼正矢對應的線段CD顯然就是「箭矢」]]
，懸停或點擊圖片可以強調對應函數]]
普通的正弦函數在歷史上有時被稱為sinus rectus （「straight sine」，直譯「直正弦」），以與「versed」的正弦函數，即正矢函數（sinus versus）進行對比。如果在原始上下文中檢視函數的定義（單位圓），這些術語的含義就會很明顯：

:對於單位圓的垂直弦AB，角\theta（代表上下角\Delta，具有相同的含義。 它本身來自印度單字「sara」（箭頭），通常用來指「」。 如果把上下角1835年，以简化地球表面两点之间的距离计算，應用於球面三角学關於导航的部分。，以及2014年提出用於之更緊湊的方法。

結語
綜觀下來，正矢函數被認為是十分重要的三角函數之一
|| \int\mathrm{versin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \sin{x} + C或aver。
*反餘的正矢（arcvercosine）：餘的正矢的反函數，又可以記作arcvercosin、 arcvercos、 avercos或avcs。
*反餘矢（arccoversine）、 invhav、 ahav。
*反餘的半正矢（archavercosine）：餘的半正矢的反函數，又可以記作archavercosin、 archavercos或ahvc。
*反半餘矢（archacoversine）：半餘矢的反函數，又可以記作archacoversin或ahcv。
*反餘的半餘矢（archacovercosine）：餘的半餘矢的反函數，又可以記作archacovercosin、 archacovercos或ahcc。
{| class="wikitable"
|-
|| \operatorname{arcversin}(y) = \arccos\left(1-y\right)\,
v \approx \frac{L^2}{2r}.

或者，如果正矢函數值很小，且已知正矢函數值、半徑和半弦長，則可以透過以下公式來估計計弧長s（上圖所示的AD）：
s\approx L+\frac{v^2}{r}

這個公式為中國數學家沈括所知，兩個世紀後，郭守敬提出了一個更準確的公式，也涉及弦弧間最大的距離。

工程中使用的更準確的近似是：
v\approx \frac{s^\frac{3}{2} L^\frac{1}{2}}{8r}

任意曲線和弦
術語「正矢」（versine）有時也用來描述任意平面曲線中弦與曲線間最大的距離，上面的圓是其中的一個特例。 給定曲線中兩點之間的弦，從弦到曲線（通常在弦中點）的垂直距離稱為正矢測量（versine measurement）或軌道曲線正矢測量。對於直線，任何弦的正矢為零，因此該測量表徵了曲線的直線度。在極限情況下，當弦長L趨近於零時，瞬時曲率的比率為\frac{8v}{L^2}。 這種用法在鐵路運輸中尤其常見，它描述了鐵軌直線度的測量，並且它是鐵路測量的之基礎。

其他相關函數
（crd，黃色）、正矢（versin，綠色）、和半正矢（haversin，紅色）函數的函數圖形]]
正矢的值域範圍在0到2之間，類似的函數還有弦函數（crd），值域範圍也在0到2之間，但函數圖形略有差異。正矢函數的圖形與正弦函數的形狀相同，但x軸與y軸都平移了一段距離。正矢函數與其他「正」的三角函數（正弦、正切、正割）同樣是從零開始遞增的函數。

參見
*三角函數

註釋
參考文獻
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• Cites coinage by Prof. Jas. Inman, D. D., in his Navigation and Nautical Astronomy, 3rd ed. (1835).

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外部連結

• [http://demonstrations.wolfram.com/SagittaApothemAndChord/ Sagitta, Apothem, and Chord] by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project.

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