匹配Z变换方法

在s平面下的極點和零點，後續要用離離散濾波器來近似]]

匹配Z变换方法（matched Z-transform method）也稱為極點-零點映射（pole–zero mapping）或極點－零點匹配法（pole–zero matching method），簡稱MPZ或MZT，是將濾波器轉換到離散時間濾波器（数字滤波器）設計的技巧。

其作法是將所有的s平面設計時的極點和零點轉換到z平面的位置z=e^{sT}，其中取樣週期T=1 / f_\mathrm{s}。因此以下傳遞函數的類比濾波器：

:H(s) = k_{\mathrm a} \frac{\prod_{i=1}^M (s-\xi_i) }{\prod_{i=1}^N (s-p_i) }

會轉換為以下的數位傳遞函數

: H(z) = k_{\mathrm d} \frac{ \prod_{i=1}^M (1 - e^{\xi_iT}z^{-1})}{ \prod_{i=1}^N (1 - e^{p_iT}z^{-1})}

其增益k_{\mathrm d}需調整，使結果為其理想的增益，一般會和類比濾波器的直流增益匹配，透過設定s=0及z=1，並且求解k_{\mathrm d}.。

因為此映射會將s平面的j\omega軸反覆的映射到z平面的單位圓上，若零點或是極點超過奈奎斯特頻率，其映射後的位置會有混疊的情形。

一般情形下，類比濾波器的極點會比零點多，在s=\infty處的零點可以移到奈奎斯特頻率，作法是放在z=-1的位置。

在數位控制中，匹配Z变换方法有一個特別的應用，就是，可以調整可控制性系統的極點，一般會將不穩定（或接近不穩定）的極點調整到穩定的位置。

參考資料