除數函數

在數論上，除數函數 \sigma_x(n) 是一類算術函數，定義為 n 的正因數的 x 次冪之和，即 \sigma_x(n) = \sum_{d|n} d^x。

其中一些特殊情況：

• \sigma_0(n) ：n 的正因數的數目
• \sigma_1(n) ：n 的正因數之和（包括自己），若扣除n本身則稱為真因數和。

性質

• \sigma_x(n) 都是積性函數，但不是完全積性。
• \sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}，其与

\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} =
\prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x})
（n 的各因數的 x 次方後的和，其在 x=1 時即為 n 包括 n 本身在內的各因數的和）相等。

• \sigma_x(n)=\sum_{\mu=1}^{n} \mu^{x-1}\sum_{\nu=1}^{\mu}\cos\frac{2\pi\nu n}{\mu}.
• \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a).
• \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.

參考

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9

Teilersumme
Osztóösszeg-függvény
Funkcja σ