径向基函数

径向基函数（，缩写为RBF）是一个取值仅依赖于到原点距离的实值函数，即\phi(\mathbf{x}) = \phi(\|\mathbf{x}\|)。此外，也可以按到某一中心点c的距离来定义， 即\phi(\mathbf{x}, \mathbf{c}) = \phi(\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|)。任一满足\phi(\mathbf{x}) = \phi(\|\mathbf{x}\|)的函数都可称作径向函数。其中，范数一般为欧几里得距离，不过亦可使用其他距离函数。

可以用于许多向函基数的和来逼近某一给定的函数。这一逼近的过程可看作是一个简单的神经网络。此外在机器学习中，径向基函数还被用作支持向量机的核函数。

类型
常见的径向基函数包括（定义r = \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i\|）：

• 高斯函数：

::\phi(r) = e^{-(\varepsilon r)^2}

• 多二次函数（multiquadric）：

:\phi(r) = \sqrt{1 + (\varepsilon r)^2}

• 逆二次函数（inverse quadratic）：

::\phi(r) = \frac{1}{1+(\varepsilon r)^2}

• 逆多二次函数（inverse multiquadric）：

::\phi(r) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\varepsilon r)^2}}

• 多重调和样条（polyharmonic spline）：

::\phi(r) = r^k,\; k=1,3,5,\dots
::\phi(r) = r^k \ln(r),\; k=2,4,6,\dots

• 薄板样条（thin plate spline，为多重调和样条的特例）：

::\phi(r) = r^2 \ln(r)

参见

• 径向基函数网络
• 径向基函数核
• Kansa方法

参考文献