圓冪定理（），是平面幾何中的一個定理。這定理指出，給定一個圓 以及一點 ，從該點引出兩條割線，分別與 相交於 、 以及 、，則有
:\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}
這個乘積，是 對於 的圓冪（），故定理以此為名。
圓冪定義
平面上任意一點 ，以及半徑為 、圓心為 的圓，則定義圓冪 為：
:h=OP^2-r^2。
從這個定義可知，若 在圓內，則圓冪為負數；若 在圓外，則圓冪為正數；若 在圓周上，則圓冪等於零。
圓冪又可等價地定義為：從該點穿過圓心的割線，與圓的兩個交點，與該點距離的乘積。也就是說：
:h=\overline{PA} \cdot \overline{PB} 。
理由如下：
:\overline{PA} \cdot \overline{PB} = (s-r)(s+r)=s^2-r^2=h。
變體
圓冪定理有三個變體，分別是「相交弦定理」、「割線定理」及「切割線定理」。
相交弦定理
設有一圓，圓上有兩條弦 及 ，它們相交於 ，則有
:\overline{EA} \cdot \overline{EB} = \overline{EC} \cdot \overline{ED}
這個乘積，是 的圓冪的相反數 。這是因為圓冪為非正數，而線段的乘積為正數。
割線定理
設有一圓，圓外有一點 ，引出兩條割線，分別與圓相交於 、 以及 、，則有
:\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PM} \cdot \overline{PN}
這個乘積，是 的圓冪 。
切割線定理
設有一圓，圓外有一點 ，引出一條割線，與圓相交於 、 ，又引出一條切線，與圓相切於 ，則有
:\overline{PA} \cdot \overline{PB} = {\overline{PT}}^2
這個乘積，同樣是 的圓冪 。
證明
相交弦定理
從同弓形內圓周角的性質可知， 與 是相似三角形，因此
:\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB}
整理可得
:EA \cdot EB = EC \cdot ED
證畢。
割線定理
從同弓形內圓周角的性質可知， 與 是相似三角形，因此
:\frac{PA}{PM} = \frac{PN}{PB}
整理可得
:PA \cdot PB = PM \cdot PN
證明完畢。
切割線定理
從內錯弓形圓周角的性質可知， 與 是相似三角形，因此
:\frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB}
整理可得
:PA \cdot PB = {PT}^2
證明完畢。
參見
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參考資料
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