普法夫約束

動力學中的普法夫約束（Pfaffian constraint）是一種用以下形式描述系統的方式：

: \sum_{s=1}^nA_{rs}du_s + A_rdt = 0;\; r = 1,\ldots, L
其中L是系統限制方程的個數。

非完整系統不一定必须是普法夫形式，比如不等式约束。

完整约束一定可以表示為普法夫約束的形式。
推導
假設一個用以下方程組描述的非完整系統
:f_r(u_1, u_2, u_3,\ldots, u_n, t) = 0;\; r = 1,\ldots, L

其中\{ u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n \}是n個描述系統的廣義座標，而L是系統約束方程的數量，可以將每一個方程用連鎖律微分：
: \sum_{s=1}^n\frac{\partial f_r}{\partial u_s}du_s + \frac{\partial f_r}{\partial t}dt = 0;\; r = 1,\ldots, L

經過置換後可以得到下式：
: \sum_{s=1}^nA_{rs}du_s + A_rdt = 0;\; r = 1,\ldots, L

例子
單擺
考慮單擺，其重物的運動會受到擺長的約束，其重物的速度向量\overrightarrow{V}隨時都會和位置向量\overrightarrow{L}垂直。因為二個向量永遠正交，因此其点积恆為零。重物的位置和速度可以用以下x-y座標系統中的系統來定義：
: \overrightarrow{L}\cdot\overrightarrow{V}=\begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\dot{x} \\\dot{y} \end{bmatrix} = 0

簡化點積後可得：
: x\dot{x} + y\dot{y} = x\frac{\text{d}x}{\text{d}t} + y\frac{\text{d}y}{\text{d}t} = 0

將等號兩邊同乘\text{d}t，結果就是約束方程的普法夫約束形式：
: x \text{d}x + y \text{d}y = 0

普法夫形式很好用，若非完整約束方程存在，可以將普法夫形式積分來求解系統的非完整約束方程。此例中的積分是很明顯的：
: \int x \text{d}x + \int y \text{d}y = 0 = x^2+y^2+C
其中C是積分常數。

也可以寫成
: x^2+y^2=L^2

L^2寫成平方項只因為其必定是正數。在實際系統中，座標一定都是實數。而L就是單擺的擺長。

機器人
机器人运动规划中的普法夫約束（Pfaffian constraint），是由k個線性無關約束的集合，而這些約束都對速度線性，也就是說

A(q) \dot q=0

輪式機器人（wheeled robot）中滾動不滑動的條件即為普法夫約束。

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