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控制变量法

Wikipedia · 2025-12-07 维基百科 👁 2 阅读

控制变量法（）是在蒙特卡洛方法中用于减少方差的一种技术方法。该方法通过对已知量的了解来减少对未知量估计的误差。

原理
假设要估计的参数为\mu。同时对于统计m，其期望值为\mu：\mathbb{E}\left[m\right]=\mu，即m是\mu的无偏差估计。此时，对于另一个统计t，已知\mathbb{E}\left[t\right]=\tau。于是，
:m^\star = m + c\left(t-\tau\right) \,

也是\mu的无偏差估计，c为任一给定系数。m^\star的方差为
:\textrm{Var}\left(m^{\star}\right)=\textrm{Var}\left(m\right) + c^2\,\textrm{Var}\left(t\right) + 2c\,\textrm{Cov}\left(m,t\right);

可以证明，使得方差最小的系数c为
:c^\star = - \frac{\textrm{Cov}\left(m,t\right)}{\textrm{Var}\left(t\right)};

此时，对应的方差则为
:\begin{align}
\textrm{Var}\left(m^{\star}\right) & =\textrm{Var}\left(m\right) - \frac{\left[\textrm{Cov}\left(m,t\right)\right]^2}{\textrm{Var}\left(t\right)} \\
& = \left(1-\rho_{m,t}^2\right)\textrm{Var}\left(m\right);
\end{align}

其中
:\rho_{m,t}=\textrm{Corr}\left(m,t\right)\,
为m与t之间的相关系数。\vert\rho_{m,t}\vert越大时，方差越小。

当\textrm{Cov}\left(m,t\right)、\textrm{Var}\left(t\right)或\rho_{m,t}\;未知时，可以通过蒙特卡洛模拟进行估计。由于该方法相当于一个最小二乘法系统，又被称为回归抽样（）。

示例
假设我们要使用蒙特卡洛方法估计
:I = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, \mathrm{d}x,

即估计
:f(U) = \frac{1}{1+U}

的期望值。其中，U满足均匀分布。假设有n个样本u_1, \cdots, u_n，该估计可表示为
:I \approx \frac{1}{n} \sum_i f(u_i);

此时，我们引入控制变量g(U) = 1+U，其已知期望值为\mathbb{E}\left[g\left(U\right)\right]=\int_0^1 (1+x) \, \mathrm{d}x=\tfrac{3}{2} 。由此，可以得到新的估计
:I \approx \frac{1}{n} \sum_i f(u_i)+c\left(\frac{1}{n}\sum_i g(u_i) -3/2\right).

以下为n=1500并使用估计的最优系数 c^\star \approx 0.4773 时，一次蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值：

参考文献

#蒙地卡罗方法 #计算统计学

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