罗德里格公式

罗德里格公式（），舊稱為艾沃里–雅可比公式，是一個關於勒壤得多項式的公式，分別被
，及所獨立發現。在埃爾米特於1865年指出罗德里格是第一個發現的人後，Heine在1878年建議使用「罗德里格公式」此名稱。此名稱亦被用於其它正交多项式的相似公式中。詳述了罗德里格公式的歷史。

敍述
令\{P_n(x)\}_{n=0}^\infty為一正交多項式序列，並滿足以下條件：
\int_a^b P_m(x) P_n(x) w(x) \, dx = K_n \delta_{m,n},
其中w(x) 為權函數，K_n為與n有關之常數，\delta_{m,n}則是克羅內克δ函數。如果權函數w(x)滿足以下微分方程（又稱Pearson微分方程）：
\frac{w'(x)}{w(x)} = \frac{A(x)}{B(x)},
其中A(x) 為次數最高為一的多項式，B(x)為次數最高為二的多項式；且以下極限成立：
\lim_{x \to a} w(x) B(x) = 0, \qquad \lim_{x \to b} w(x) B(x) = 0,
那麼我們可以證明P_n(x)滿足以下遞迴關係式
P_n(x) = \frac{c_n}{w(x)} \frac{d^n}{dx^n}\left[ B(x)^n w(x)\right],
其中c_n為常數。此關係式稱為「罗形公式」或是簡稱為「罗德里格公式」

罗形公式最常見的應用為勒壤得多項式、拉蓋爾多項式和埃爾米特多項式。

對勒壤得多項式P_n，罗德里格描述他的公式如下：
P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[ (x^2 -1)^n \right].

拉蓋爾多項式通常被記為L0, L1, ⋯⋯，其罗形公式可被寫為：
L_n(x) = \frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right) = \frac{1}{n!} \left( \frac{d}{dx} -1 \right) ^n x^n,

埃爾米特多項式的罗德里格公式則為：
H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=\left (2x-\frac{d}{dx} \right )^n \cdot 1 .

其他從史特姆-萊歐維爾方程所得之正交函數序列也有類似的公式，這些公式也被稱為罗德里格公式（或是罗形公式），特別是所得函數為多項式時。
參考資料
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