在範疇論中，正规態射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態射。使所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。
定義
設\mathcal{C}為一個有有限射影極限與歸納極限的範疇。設f: X \to Y為態射。設p_1, p_2: \; X \times_Y X \to X為積的投影，而i_1,i_2: \; Y \to Y \sqcup_X Y為上積的內射。定義：
- 上像：\mathrm{Coim}(f) := \mathrm{Coker}(p_1,p_2)
- 像： \mathrm{Im}(f) := \mathrm{Ker}(i_1, i_2)
根據極限性質，自然態射X \to \mathrm{Coim}(f)是滿射，而\mathrm{Im}(f) \to Y則是單射。此外還存在唯一一個態射u: \;\mathrm{Coim}(f) \to \mathrm{Im}(f)，使得合成態射
: X \longrightarrow\mathrm{Coim}(f) \stackrel{u}{\longrightarrow} \mathrm{Im}(f) \longrightarrow Y
正好是f。
若u為同構，則稱f為正规態射；正规態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。
性質
- 以下三個條件等價：
* f為嚴格滿射*
** \mathrm{Coim}(f) \to Y為同構
** 序列X \times_Y X \Rightarrow X \rightarrow Y正合
- 如果f同時是嚴格滿射與嚴格單射，則f為同構。
- X \to \mathrm{Coim}(f)恆為嚴格滿射。
例子
正规態射的重要特性在於它分解為滿射與單射，此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。
對於集合範疇、群範疇以及一個環上的模範疇，嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構，狀況將大大地複雜化：例如取\mathcal{C}為拓撲向量空間範疇，\mathcal{C}中存在所有有限的積與上積。\mathcal{C}中的態射f: X \to Y即連續線性映射，其像\mathrm{Im}(f)是空間f(X)配與Y的子空間拓撲，上像\mathrm{Coim}(f)則是f(X)配與f: X \to f(X)的商拓撲；後者一般較前者為細。
文獻
- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490
外部連結
- [https://web.archive.org/web/20070402075309/http://www.institut.math.jussieu.fr/~schapira/polycopies/Sta.pdf Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira]
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