多重指標是數學中一種方便的表示法，它將指標中的單個整數推廣為多個整數，它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分佈理論中的計算，也便於操作冪級數。
定義與運算
一個n-維多重指標是一個由整數構成的向量
:\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)
設\alpha, \beta為多重指標，定義：
:\alpha \pm \beta:= (\alpha_{1} \pm \beta_{1},\,\alpha_{2} \pm \beta_{2}, \ldots, \,\alpha_{n} \pm \beta_{n})
:\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_{i} \le \beta_{i} \quad \forall\,i
:| \alpha | = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \cdots + \alpha_{n}
應用最廣的是非負的多重指標，此時可以定義：
:\alpha ! = \alpha_{1}! \cdot \alpha_{2}! \cdots \alpha_{n}!
:{\alpha \choose \beta} = \frac{\alpha!}{(\alpha - \beta)! \, \beta!}={\alpha_{1} \choose \beta_{1}}{\alpha_{2} \choose \beta_{2}}\cdots{\alpha_{n} \choose \beta_{n}}（假設\alpha \geq \beta）
:設x = (x_1, \ldots, x_n)，定義\mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}
: D^{\alpha} := D_{1}^{\alpha_{1}} D_{2}^{\alpha_{2}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}其中D_{i}^{j}:=\partial^{j} / \partial x_{i}^{j}
命題。若i, k是非負的n維多重指標，且x=(x_1,\ldots, x_n)，則
: D^i x^k =
\begin{cases}
\frac{k!}{(k-i)!} x^{k-i} & i\le k\\
0 & i \nleq k
\end{cases}
按定義直接操作即可證明。
應用
多元微積分
多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子：
多元冪級數：有兩個以上變元的冪級數通常寫成
: s(\mathbf{x}) = \sum_I a_I \mathbf{x}^I
其中I是n-維多元指標而\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)，以簡化冗長的表法
: s(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i_1, \ldots, i_n} a_{i_1 \ldots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}
多項展開
: \left( \sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)^k = \sum_\int_{\Omega}^{}{(D^{\alpha}u)v\,dx}
此公式用以定義分佈與弱導數。
文獻
- Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9
评论 (0)