的总和运动]]
的一个总和运动]]
在数学中，反射（reflection，reflexion）又称反映、-{zh-cn:镜射;zh-tw:反射}-，是把一个物体变换成它的镜像的映射。要反射一个平面图形，需要“镜子”是一条直线（反射轴），对于三维空间中的反射就要使用平面作为镜子。反射有时被认为是圆反演的特殊情情况，参考圆有无限半径。
在几何上说，要找到一个点的反射，可从这个点向反射轴画一条垂线。并在另一边延续相同的距离。要找到一个图形的反射，需要反射这个图形的每个点。
两次反射回到原来的地方。反射保持在点之间的距离。反射不移动在镜子上的点，镜子的维数比发生反射的空间的维数要小1。这些观察允许我们形式化反射的定义：反射是欧几里得空间的对合等距同构，它的不动点集合是余维数为1的仿射子空间。
在经历特定反射后不改变的图形被称为有反射对称性。
密切关联于反射的是斜反射和圆反演。这些变换仍对合于有余维数1的不动点的集合，但它们不再是等距的。
豪斯霍尔德变换
给定在欧几里得空间Rn中的一个向量a，在通过原点的正交于a的超平面中的反射的公式是
:\mathrm{Ref}_a(v) = v - 2\frac{v\cdot a}{a\cdot a}a
这里的v·a指示v和a的点积。注意在上面等式中的第二项就是v在a上的投影的两倍。可以轻易的检查
Refa(v) = − v，如果v平行于a*，
Refa(v) = v，如果v垂直于a*。
因为这些反射是欧几里得空间的固定原点的等距同构，它们可以表示为正交矩阵。对应于上面反射的正交矩阵是有如下元素的矩阵
:R_{ij} = \delta_{ij} - 2\frac{a_i a_j}{\|a\|^2}
这里的δij是克罗内克δ。
在仿射超平面v\cdot a = c中的反射的公式是
:\mathrm{Ref}_{a,c}(v) = v - 2\frac{v\cdot a - c}{a\cdot a}a.
任何一个Rn中正交变换都能写成一些反射的复合，且映射的个数可以不多于n个，这是嘉当-迪厄多内定理的结论。对于不定空间Rp,q也是成立的。
参见
*坐标旋转和反射
*反射旋转
*旋转
*反演
*平移
*点反演
*缩放
外部链接
- [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Reflection.shtml Reflection in Line] at cut-the-knot
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