在数学中，反三角函数（）是三角函数的反函数。
數學符號
符号\sin^{-1}, \cos^{-1}等常用于\arcsin, \arccos等。但是这种符号有时在\sin^{-1} x和\frac{1}{\sin x}之间易造成混淆。
在编程中，函数\arcsin, \arccos, \arctan通常叫做\mathrm{asin}, \mathrm{acos}, \mathrm{atan}。很多编程语言提供两自变量atan2函数，它计算给定y和x的\frac{y}{x}的反正切，但是值域为[-\pi, \pi]。
File:Asin acos plot.svg|在笛卡尔平面上f(x)=\arcsin x(紅)和f(x)=\arccos x(綠)函数的常用主值的图像。
File:Atan acot plot.svg|在笛卡尔平面上f(x)=\arctan x(紅)和f(x)=\arccot x(綠)函数的常用主值的图像。
File:Asec acsc plot.svg|在笛卡尔平面上f(x)=\arccsc x(紅)和f(x)=\arcsec x(綠)函数的常用主值的图像。
主值
下表列出基本的反三角函数。
（注意：某些數學教科書的作者將\arcsec的值域定為[0,\frac{\pi}{2})\cup[\pi,\frac{3\pi}{2})因為當\tan的定義域落在此區間時，\tan的值域\geq 0，如果\arcsec的值域仍定為[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]，將會造成\tan(\arcsec x)=\pm\sqrt{x^2-1}，如果希望\tan(\arcsec x)=\sqrt{x^2-1}，那就必須將\arcsec的值域定為[0,\frac{\pi}{2})\cup[\pi,\frac{3\pi}{2})，基於類似的理由\arccsc的值域定為(-\pi,-\frac{\pi}{2}]\cup(0,\frac{\pi}{2}]）
如果x允许是复数，则y的值域只适用它的实部。
反三角函数之间的关系
余角：
:\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x
:\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x
:\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x
负数参数：
:\arcsin (-x) = - \arcsin x \!
:\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!
:\arctan (-x) = - \arctan x \!
:\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!
:\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!
:\arccsc (-x) = - \arccsc x \!
倒数参数：
:\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x
:\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x
:\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \ \ x > 0
:\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \ \ x
:\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ \ x > 0
:\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\ \ x
:\arcsec \frac{1}{x} = \arccos x
:\arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x
如果有一段正弦表：
:\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2}, \ 0 \leq x \leq 1
:\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
注意只要在使用了复数的平方根的时候，我们选择正实部的平方根(或者正虚部，如果是负实数的平方根的话)。
从半角公式\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} ，可得到：
:\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}
:\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}, -1
:\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}
三角函數與反三角函數的關係
通過定義可知：
一般解
每个三角函数都周期于它的参数的实部上，在每个2\pi区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于2\pi k-\frac{\pi}{2}结束于2\pi k+\frac{\pi}{2}（这里的k是一个整数），在2\pi k+\frac{\pi}{2}到2\pi k+\frac{3\pi}{2}上倒过来。余弦和正割的周期开始于2\pi k结束于2\pi k +\pi，在2\pi k +\pi到2\pi k +2\pi上倒过来。正切的周期开始于2\pi k-\frac{\pi}{2}结束于2\pi k+\frac{\pi}{2}，接着(向前)在2\pi k+\frac{\pi}{2}到2\pi k+\frac{3\pi}{2}上重复。余切的周期开始于2\pi k结束于2\pi k +\pi，接着（向前）在2\pi k +\pi到2\pi k +2\pi上重复。
这个周期性反应在一般反函数上：
:\sin y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arcsin x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y= \pi - \arcsin x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )
:\cos y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arccos x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = 2\pi - \arccos x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )
:\tan y= x \ \Leftrightarrow\ \ y = \arctan x+ k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}
:\cot y= x \ \Leftrightarrow\ \ y = \arccot x+ k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}
:\sec y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arcsec x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = 2\pi - \arcsec x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )
:\csc y= x \ \Leftrightarrow\ (\ y = \arccsc x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \ \lor\ y = \pi - \arccsc x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}\ )
反三角函数的导数
对于实数x的反三角函數的导函数如下：
:
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| 1\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\end{align}
舉例說明，设\theta = \arcsin x \!，得到：
:\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上|x|，其他導數公式同理可證。
表达为定积分
积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式：
:
\begin{align}
\arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\
\arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\
\arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1
\end{align}
当x等于1时，在有极限的域上的积分是瑕积分，但仍是良好定义的。
无穷级数
如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用无穷级数计算如下：
:
\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}
:
\begin{align}
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \left[z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots \right] \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}
:
\begin{align}
\arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}
:
\begin{align}
\arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}
:
\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} -\left[z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots \right] \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)}
; \qquad \left| z \right| \ge -4
\end{align}
:
\begin{align}
\arccsc z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) \\
& {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
; \qquad \left| z \right| \ge 1
\end{align}
欧拉发现了反正切的更有效的级数：
:\arctan x = \infty{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}。
（注意对x=0在和中的项是空积1。）
反三角函数的不定积分
:
\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C, \qquad x\le 1\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C, \qquad x\le 1\\
\int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \sgn(x)\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right| + C= x\,\arcsec x +\sgn(x)\ln\left|x-\sqrt{x^2-1}\right| + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \sgn(x)\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right| + C= x\,\arccsc x -\sgn(x)\ln\left|x-\sqrt{x^2-1}\right| + C\\
\end{align}
使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。
舉例
使用\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u，設
:
\begin{align}
u &{}=&\arcsin x &\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\\
\mathrm{d}u &{}=&\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&\quad\quad{}v = x
\end{align}
則
:\int \arcsin(x)\,\mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x
換元
: k = 1 - x^2.\,
則
: \mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x
且
:\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}
換元回x得到
:\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C
加法公式和減法公式
:\arcsin x + \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), xy \leq 0 \lor x^2 + y^2\leq 1
:\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), x > 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1
:\arcsin x + \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), x 1
:\arcsin x - \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), xy \geq 0 \lor x^2 + y^2\leq 1
:\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), x > 0, y 1
:\arcsin x - \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), x 0, x^2 + y^2 > 1
:\arccos x + \arccos y = \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x + y \geq 0
:\arccos x + \arccos y = 2\pi - \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x + y
:\arccos x - \arccos y = -\arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x \geq y
:\arccos x - \arccos y = \arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x
:\arctan\,x + \arctan\,y =\arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, xy
:\arctan\,x + \arctan\,y =\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x > 0, xy > 1
:\arctan\,x + \arctan\,y =-\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x 1
:\arctan x - \arctan y =\arctan{\frac{x-y}{1+xy}}, xy > -1
:\arctan x - \arctan y =\pi + \arctan{\frac{x-y}{1+xy}}, x > 0, xy
:\arctan x - \arctan y =-\pi + \arctan {\frac{x-y}{1+xy}}, x
:\arccot x + \arccot y =\arccot{\frac{xy-1}{x+y}}, x > -y
:\arccot x + \arccot y =\arccot {\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, x
:\arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2}, |x|\leq1
:\arctan x + \arccot x =\frac{\pi}{2}
註釋
参见
- 正切半角公式
- 平方根
外部链接
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