博赫纳积分

在数学中，以萨洛蒙·博赫纳命名的博赫纳积分（）作为简单函数积分的极限，将勒贝格积分的定义推广到在巴拿赫空间中取值的函数。

定义
令(X, Σ, μ)为测度空间，B为巴拿赫空间。博赫纳积分以与勒贝格积分相同的方式定义。首先，简单函数是任意如下形式的有限和
: s(x) = \sum_{i=1}^n \chi_{E_i}(x) b_i
其中E是iσ-代数Σ的不相交元素，bi是B的不同元素，而χE是E的指示函数。如果μ(Ei)每当bi ≠ 0时有限，则简单函数是可积的，积分如下定义
: \int_X \left[\sum_{i=1}^n \chi_{E_i}(x) b_i\right]\, d\mu = \sum_{i=1}^n \mu(E_i) b_i
与普通勒贝格积分完全相同。

可测量函数ƒ:X→B是博赫纳可积的，如果存在一列可积的简单函数sn满足
: \lim_{n\to\infty}\int_X \|f-s_n\|_B\,d\mu = 0，
其中左边的积分是普通勒贝格积分。

在这种情形下，博赫纳积分定义为
: \int_X f\, d\mu = \lim_{n\to\infty}\int_X s_n\, d\mu。
可以证明，函数是博赫纳可积的当且仅当它位于博赫纳空间 L^1。

参见
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• 向量测度

参考文献
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