茶年 · 中文维基百科

方根

Wikipedia · 2025-08-04 维基百科 👁 1 阅读

在数学中，一數b為数a的n次方根，則b^n=a。在提及实数a的n次方根的时候，若指的是此数的主n次方根，則可以用根号（\sqrt{\color{white} t}）表示成\sqrt[n]{a}。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作\sqrt[10]{1024}=2。當n=2時，則n可以省略。定义实数a的主n次方根为a的n次方根，且具有与a相同的正负号的唯一实数b。在n是偶数時，负数没有主n次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

方根也是幂的分数指数，即數b為数a的\frac{1}{n}次方：
:b=\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

符号史
最早的根号“√”源于字母「r」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号\sqrt{\color{white} x}。

考慮在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算
带有根号的运算可由如下公式推導而得:
:
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0

:\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0

:
\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},

这裡的a和b是正数。

对于所有的非零复数a，有n个不同的复数b使得b^n=a，所以符号\sqrt[n]{a}就會出現歧义（通常這樣寫是取n個值當中主幅角最小的）。n次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

:a^m a^n = a^{m+n}

:\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}

:\left(a^m\right)^n = a^{mn}

例如:
:\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}

若要做加法或减法，需考慮下列的概念。
:\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。

例如
:\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}
:=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}
:=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}
:=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}

不尽根数
未經化簡的根數，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。

如下恒等式是處理不尽根数的基本技巧:

  • \sqrt{a^2 b} = abs(a) \sqrt{b}
  • \sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}
  • \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}
  • \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}

无穷级数
方根可以表示为无穷级数:

:\begin{align}
&(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\
&(|x|

找到所有的方根
任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式ae^{i\varphi}(参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:
:e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}
对于k=0,1,2,\ldots,n-1，这裡的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

正实数
所有x^n=a或a的n次方根，这裡的a是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

:e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}

对于k=0,1,2,\ldots,n-1，这裡的\sqrt[n]{a}表示a的主n次方根。

解多项式
曾经有數學猜想，認為多项式的所有根可以用根号和四則运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程
: \ x^5=x+1
的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见求根算法。

算法
對於正數A，可以通過以下算法求得\sqrt[n]{A}的值：

猜一個\sqrt[n]{A}的近似值，將其作為初始值x_0

設 x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]。記誤差為\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right]，即x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k。

#重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：| \Delta x_k | 。

從牛頓法導出
求\sqrt[n]{A}之值，亦即求方程x^n-A=0的根。

設f(x)=x^n-A，其導函數即f'(x)=nx^{n-1}。

以牛頓法作迭代，便得

:x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}
:= x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}}
:= x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}}
:= \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]

從牛頓二項式定理導出
設x_k為迭代值，y為誤差值。

令A=(x_k-y)^n（*），作牛頓二項式展開，取首兩項：A\approx x_k^n-n x^{n-1}_k y

調項得y\approx \frac{x_k^n-A}{n x_k^{n-1}}=\frac1n \left(x_k - \frac{A}{x_k^{n-1}}\right)

將以上結果代回（*），得遞歸公式x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]

参见

  • 增乘开平方法
  • 幂
  • 无理数
  • 分母有理化
  • 双重根号
  • 2的12次方根

外部链接

#数字运算 #初等代数

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。