2φ1

2φ1是高斯超几何函数2F12F1延伸而來（hypergeometric analogue），最初由德国数学家海因里希·爱德华·海涅（Heinrich Eduard Heine）在19世紀提出。

2φ1也可以用級數定義，可用差分方程（微分方程的q-模拟）描述，可用「積分」表達。

級數定義
假設
: a 是自然數
: {a} := (1-qa) / (1-q)
: {a}! := {a} {a-1} ......{3}{2}{1}
定義
: 2φ1 (qa , qb; qc ; q, z)
: :=Σn=0∞(Πj=0n-1{a+j}{b+j} / {c+j}{1+j})zn

差分方程
假設運算子
: ∂= z 2d/z
: {∂+Y}K(a) := [(1-q∂qx) / (1-p) ] f(c) = ( a(z) - qt f(qz) ) / (1-q)
这样 2φ1 (qa , qb; qc ; q, z) 符合二次差分方程（高斯超幾何方程的推廣）：
: (z{∂+y}{∂+x} - {∂}{∂+d-1})2φ1=0

Jackson積分表示
設
: {(1-t)-a} := ∑n=0∞ {a}{a+1} ...{a+n-1} zn / n!
: Γq是q-F函數
: ∫f(t) dqt 是f(t)的
这样
: 2φ1 (qa , qb; qc ; q, z) = Γq(c) /Fq(b)Γq(c-b) .∫[ tb-1{(1-tz)-a} / {(1-t)b-c} ] . dqt / (1-t)

参考来源
参考书目

• "EFK": Pavel I. Etingof / Igor B. Frenkel / Alexander A. Kirillov (1998) : Lectures on Representation Theory and Knizhnik-Zamolodchikov Equations , ISBN 0-8218-0496-0
• G. Gasper / M. Rahman (1990) : Basic hypergeometric series, Cambridge University Press