馮紐曼熵

量子統計力學中，馮紐曼熵（）是經典體系吉布士熵概念的拓展延伸。體系的馮紐曼熵为
: S \dot= - \mathrm{Tr}(\rho \ln \rho),
其中Tr表示求跡，\rho是體系的密度矩陣。

運用密度矩陣的本徵態向量分解表示
: \rho = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |,
可以得到：
: S = - \sum_i w_i \ln w_i.

性質
馮紐曼熵有下列性質：

• S=0 \iff \rho代表純態；
• S=S_\max=\ln N \iff \rho代表最大混合態，就是所有的w_i都等於N^{-1}，其中N是希爾伯特空間的維數；
• 對密度矩陣作酉變換，S不變。
• 馮紐曼熵是密度矩陣的上凸函數：

: S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \, \rho_i \bigg) \,\geq\, \sum_{i=1}^k \lambda_i \, S(\rho_i), \qquad\forall \lambda_i\geq0,\sum_i\lambda_i=1;

• 馮紐曼熵對獨立體系有加和性，就是：如果A和B是兩個獨立的體系，这样

: S(\rho_A \otimes \rho_B)=S(\rho_A)+S(\rho_B).