糾纏譜

1935 年，薛丁格在量子力學詮釋的辯論中提出「糾纏」一詞，用來描述一種反直覺的量子現象：兩個粒子即使相隔遙遠，它們的量子狀態仍然緊密連動，彷彿彼此的資訊深深交織在一起。因此，只要測量其中一個粒子，另一個粒子的狀態也會立即受到影響，不論它們相距多遠。這種超越日常經驗的關聯性，成為量子力學最令人驚異的特徵之一。

隨著研究進展，科學家發現量子糾纏並不僅存在於兩個粒子的情況。在量子多體系統中，例如固體中的電子或磁性材料中的自旋，量子糾纏扮演著更為核心的角色。這些系統由大量粒子共同組成，其行為往往無法以單一粒子的直覺來理解，而量子糾纏提供了一種揭示粒子間深層相關性的全新視角。

為了更細緻地分析這些關聯，Li 和 Haldane 在 2008 年提出「糾纏譜」（entanglement spectrum）的概念。它可視為一種糾纏結構的光譜分析，就像光譜可以分解光的成分，糾纏譜則能將量子系統中的糾纏結構拆解成不同的能階成分。相較之下，傳統的「糾纏熵」只能提供糾纏的總量，而糾纏譜能呈現更多細節，使研究者得以更深入理解量子多體系統的內部結構。

數學定義
糾纏譜的數學定義是
:\xi_i=-\ln\omega_i-\ln Z
其中 \omega_i 是約化密度矩陣的第 i 個本徵值，Z 是一個常數，源自所有的本徵值總和必須是 \sum_i\omega_i=1。以下詳細介紹上式數學定義，適合對量子力學的數學工具（例如：bra-ket）有一定熟悉程度的讀者。

討論量子糾纏的時候，經常把一個量子系統區分成 A 和 B 兩個子系統，量子糾纏則是探討 A 和 B 之間的量子關聯性。假設總系統的歸一化波函數可以寫成
:|\psi\rangle=\sum_{i\in A}\sum_{k\in B}\phi_{ik}|i\rangle |k\rangle
雖然總系統的密度矩陣 \rho=|\psi\rangle\langle\psi| 是一個純態，但是經過部分跡子系統 B 的自由度之後，得到的約化密度矩陣 \rho_A=\mathrm{tr}_B\rho 可能是一個混合態，即 \rho_A^2\neq\rho_A。
這個部分跡「\mathrm{tr}_B」是指只跡子系統 B 的自由度的操作，其結果仍是一個矩陣，矩陣大小變為子系統 A 的自由度的大小。約化密度矩陣的矩陣元是
:[\rho_A]_{ij}=\sum_k\phi_{ik}^*\phi_{jk}
可以看出約化密度矩陣是一個厄米矩陣，[\rho_A]_{ji}^*=[\rho_A]_{ij}，所以 \rho_A 的本徵值必為實數。由於 \rho_A 可能是一個混合態，這表示當總系統是|\psi\rangle這個狀態時，如果測量只發生在子系統 A，則會得到許多不同可能的結果，這些不同的結果相對應的機率就是 \rho_A 的本徵值 \omega_i，滿足本徵值方程式 \rho_A|\omega_i\rangle=\omega_i|\omega_i\rangle。由於總系統波函數是歸一化的，\langle\psi|\psi\rangle=1，可推得所有的本徵值的總和也是歸一化的。
:\sum_i\omega_i=1
\omega_i 也有機率的意義。一個只作用在 A 的測量量 O_A 的期望值就是把子系統在各個本徵態的期望值 \langle\omega_i|O_A|\omega_i\rangle，和子系統對應在那個本徵態的機率 \omega_i，相乘之後的總和，
:\langle O_A\rangle=\mathrm{tr}(\rho_AO_A)=\sum_i\omega_i\langle\omega_i|O_A|\omega_i\rangle
A 和 B 之間的糾纏的程度大小，可以從 \omega_i 的分布觀察得到，例如：若所有的本徵態的機率皆相等，\omega_1=\omega_2=\cdots，則 A 和 B 是最大可能的糾纏狀態。另一個極限是，若只有其中一個本徵值為 1，\omega_1=1，其餘本徵值皆為 0，\omega_2=\omega_3=\cdots=0，那麼測量子系統 A 也只會得到一種可能，這表示 A 和 B 沒有任何糾纏。「糾纏熵」正是可以很好的刻畫這樣的性質，不過糾纏熵把本徵值的分佈濃縮成一個數值，糾纏譜則是直接觀察 \rho_A 的本徵值的分佈，然而糾纏譜的定義讓單純的機率分佈和能譜有更巧妙的關聯和意義。

在量子統計力學中，考慮一個正則系綜的混合態密度矩陣 \rho=e^{-\beta H}/Z，其中 \beta=1/k_BT 是溫度的倒數，k_B 是波茲曼常數，Z=\mathrm{tr}(e^{-\beta H})是配分函數，H 是系統的哈密顿算符。既然約化密度矩陣 \rho_A 是一個混合態，那麼將它類比成一個熱力學平衡時，溫度為 \beta=1 的熱態 \rho_A=e^{-H_E}/Z，其中 Z=\mathrm{tr}(e^{-\beta H_E}) 用來保證 \mathrm{tr}\rho_A=1。這樣定義出一個假想的哈密顿算符 H_E，這個 H_E 是只作用在子系統 A 上的算符，稱為糾纏哈密顿算符(Entanglement Hamiltonian)，而 H_E 的本徵值 \xi_i 就稱為糾纏能量，滿足 H_E|\omega_i\rangle=\xi_i|\omega_i\rangle，所以糾纏能量和 \omega_i 的關係是 \omega_i=e^{-\xi_i}/Z 或
:\xi_i=-\ln\omega_i-\ln Z

糾纏譜就是所有糾纏能量的集合 \{\xi_i\}。

須注意上式中 -\ln Z 有時候在文獻中被忽略，因為它只是把整個糾纏譜平移一個常數，若只關心相對的糾纏能量差 \Delta\xi_i=\xi_i-\xi_0，則此常數很自然的被消除掉。根據糾纏熵和糾纏能量的定義，糾纏熵可視為糾纏能量的期望值加上常數 \ln Z。

糾纏譜的定義可以不討論系統的哈密顿算符，而且即使系統的哈密顿算符 H 可寫成子系統的相加以及子系統之間的相互作用，H=H_A+H_B+H_{AB}，一般來說糾纏哈密顿算符 H_E 也不會正比於子系統 A 的哈密顿算符 H_A，H_E\neq\beta H_A。

Li-Haldane猜想
Li 和 Haldane 在 2008 年首次提出糾纏能譜的概念，並且在分數量子霍爾系統中計算糾纏能譜，發現糾纏能譜可模擬拓樸系統的邊界態，後來在其他的拓樸系統中也被成功驗證，因此廣泛地被稱為「Li-Haldane猜想」：拓樸系統的基態的糾纏能譜會出現和邊界能態一對一的對應關係。

由於二維拓樸系統的邊界是一個無能隙的一維系統，且可以由共形場論所描述，因此糾纏能譜也能出現共形場論中的能態計數關係，例如整數分拆數列 {1,1,2,3,5,7,...}。也就是說，在糾纏譜中發現明確的能態計數關係就意味著體系統擁有「拓樸序」，因此糾纏譜可望成為拓樸系統的「指紋」。

參考文獻