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平方根

Wikipedia · 2026-03-19 维基百科 👁 1 阅读

在數學中，一個數x的平方根y指的是滿足y^2 = x的數，即平方結果等於x的數。例如，4和-4都是16的平方根，因为4^2=(-4)^2=16。

任意非負實數x都有唯一的非負平方根，称为算术平方根或-{zh-cn:主平方根; zh-tw:算術平方根;}-（），記為\sqrt x，其中的符号\sqrt{\quad}称作根号。例如，9的算术平方根为，记作 \sqrt 9 = 3，因为3^2=3 \times 3 =9并且3非负。被求平方根的数称作被开方数（），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。

正数x有兩個互为相反数的平方根：正数\sqrt x与负数-\sqrt x，可以将两者一起记为\pm \sqrt x。

負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其“平方根”（例如矩陣的平方根）。

*在Microsoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。

历史
耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了\sqrt 2的六十进制数字 1;24,51,10。六十进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。

莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。

古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。

古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作m/n，其中m和n是整数）。

中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

中世紀時，拉丁語中的（正方形邊）的首個字母“L”被不少歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作《》中則用橫線當成的簡寫，在被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的（平方根），1220年Leconardo在《*'》中使用℞（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；⎷（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss*首次使用，據說是小寫r的變型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人們熟知的开方运算符号\sqrt[n]{\,\,}。

正數
與垂直準線。]]

x的平方根亦可用指數表示，如：
:x^\frac 1 2 = \sqrt x

x的絕對值可用x^2的算數平方根表示：
:|x| = \sqrt{x^2}\left( =\begin{cases}
x &(x \ge 0) \\
-x &(x

若正整數x是平方數，則其平方根是整數。若正整數x不是平方數，則其平方根是無理數。

對於正數x、y，以下式成立：

:\begin{align}
\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{xy}\\
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \sqrt{\frac{x}{y}}
\end{align}

负数与複數
正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有实数平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是複數。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作i（也可以记作j，比如电学场景中i一般表示电流），称之为虚数单位，定义即为i^2 = -1，故i是-1的平方根，而且(-i)^2 = i^2 = -1，所以-i也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是i，如果x是任意非负实数，则-x的算术平方根就是：
:\sqrt{-x} = i \sqrt{x}

例如-5的平方根有两个，它们分别为\sqrt{5}i和-\sqrt{5}i。

之所以等式右侧（包括其对应的负值）是-x的算术平方根，是因为：
:(i\sqrt{x})^2 = i^2(\sqrt{x})^2 = (-1)x = -x

负数的兩個平方根为一对共轭的纯虚数。

對於負數x、y，以下式成立：

:\begin{align}
\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{-x}\,i \times \sqrt{-y}\,i = \sqrt{xy}\,i^2 = -\sqrt{xy}\\
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \frac{\sqrt{-x}i}{\sqrt{-y}i} = \sqrt{\frac{-x}{-y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}
\end{align}

虚数的算术平方根
虚数i的算术平方根可以根据以下公式计算：
:\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)

这个公式可以通过用代数方法推导，只需找到特定的实数a和b，满足
:
\begin{align}
i &= (a + bi)^2 \\
&= a^2 + 2abi - b^2
\end{align}

就可以得到方程组
:
\begin{cases}
2ab = 1 \\
a^2 - b^2 = 0
\end{cases}

的解：
:a = b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

其中，算术平方根即为
:a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}

这个公式还可以通过棣莫弗公式得到，设
:i = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)

就可以推出
:
\begin{align}
\sqrt{i} &= \left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}} \\
&= \cos \left(\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)
\end{align}

复数的算术平方根
对于任何一个非零的复数z都存在两个複数w使得w^2 = z。

首先，我们将复数x + iy 看作是平面上的点，即笛卡尔坐标系中的(x, y)点。这个点也可以写作极坐标的(r, \varphi)，其中r \geq 0，是该点到坐标原点的距离，\varphi则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（x轴）的夹角。复分析中，通常把该点记作re^{i \varphi}。如果

:z = r e^{i \varphi}, -\pi

那么我们将z的算术平方根定义为：
:\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{\frac{i \varphi}{2}}

因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。\sqrt{1+x} 的泰勒级数也适用于复数x (\left \vert x \right \vert 。

上面的公式还可以用三角函数的形式表达：
:\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2}\right)

代数公式
如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z，其算术平方根可以使用如下公式：
:\sqrt{z} = \sqrt{\frac

牛頓法
如果要求S\,(S>1)的平方根，選取1\,
: x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{S}{x_n}\right)

例子：求\sqrt{125348}至6位有效數字。
:x_0 = 3^6 = 729.000\,\!
:x_1 = \frac{1}{2} \left(x_0 + \frac{S}{x_0}\right) = \frac{1}{2} \left(729.000 + \frac{125348}{729.000}\right) = 450.472
:x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{S}{x_1}\right) = \frac{1}{2} \left(450.472 + \frac{125348}{450.472}\right) = 364.365
:x_3 = \frac{1}{2} \left(x_2 + \frac{S}{x_2}\right) = \frac{1}{2} \left(364.365 + \frac{125348}{364.365}\right) = 354.191
:x_4 = \frac{1}{2} \left(x_3 + \frac{S}{x_3}\right) = \frac{1}{2} \left(354.191 + \frac{125348}{354.191}\right) = 354.045
:x_5 = \frac{1}{2} \left(x_4 + \frac{S}{x_4}\right) = \frac{1}{2} \left(354.045 + \frac{125348}{354.045}\right) = 354.045
因此\sqrt{125348} \approx 354.045.

連分數
平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为：

\sqrt {1}=1

\sqrt {2}=[1;2,2,2,2...]

\sqrt {3}=[1;1,2,1,2...]

\sqrt {4}=2

\sqrt {5}=[2;4,4,4,4...]

\sqrt {6}=[2;2,4,2,4...]

\sqrt {7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]

\sqrt {8}=[2;1,4,1,4...]

\sqrt {9}=3

\sqrt {10}=[3;6,6,6,6...]

\sqrt {11}=[3;3,6,3,6...]

\sqrt {12}=[3;2,6,2,6...]

\sqrt {13}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]

\sqrt {14}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]

\sqrt {15}=[3;1,6,1,6...]

\sqrt {16}=4

\sqrt {17}=[4;8,8,8,8...]

\sqrt {18}=[4;4,8,4,8...]

\sqrt {19}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]

\sqrt {20}=[4;2,8,2,8...]

连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。

巴比倫方法
巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根）

预测一个平方根x，初始另一个值y，且xy=N

求预测值与初始值的均值：x=\frac{x+y}{2}, y=\frac{N}{x}

比较x和y的差值是否达到精度，如果无，继续步骤

重複的算術運算
這個方法是從佩爾方程演變過來的，它通過不斷減去奇數來求得答案。

尺规作图
問題
給定線段AB和1，求一條長為\sqrt{AB}的線段。

解法

畫線AB，延長BA至C使AC=1

以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓

過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

證明
將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設

  • O=(0,0)
  • AB=n

直徑為BC的圓就是x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2（圓的方程式：x^2+y^2=r^2）（其中r表示半径。）

將\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)（A,D所在的x座標）代入上面的方程式

\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2

解方程，得y=\sqrt{n}。

另也可参见射影定理。

参见

  • 方根
  • 增乘开平方法

*二项式定理
*牛顿法
*
外部链接

參考資料

#算术 #基本特殊函数 #初等代数

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