凹函数（）是指为凸集的一类函数。
定義
如果一個有實值函數f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有
:f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).
则我们称f在某區間（或者某個向量空間中的凸集）上是凹的
某函數f:R→R，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z, f(z) )是在以點(x, f(x) )和(y, f(y) )連成的直線之上。
性質
如果一個可微函數f它的導數f'在某區間是單調遞減的，f就是凹的：一個凹函數的斜率單調遞減（當中遞減只是代表非遞增而不是嚴格遞減，也代表這容許零斜率的存在。）
如果一個二次可微的函數f，它的二階導數f(x)是正值，那麼它的圖像是凸的；如果二階導數f(x)是負值，圖像就會是凹的。
如果凸函數（也就是向上開口的）有一個「底」，在底的任意點就是它的極小值。如果凹函數有一個「頂點」，那麼那個頂點就是函數的極大值。
如果f(x)是二次可微的，那麼f(x)就是凹的若且唯若f*(x)是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴格凹函數，但相反而言又不一定正確，例如當f(x) = -x^4。
如果f是凹的也是可微的，那麼
:f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x]
一個在\mathbb C的連續函數是凹的若且唯若对于任意属于\mathbb C的x和y，有
:f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2
例子
- 函數f(x)=-x^2 和 f(x)=\sqrt{x}都是凹函數因為它們的二階導數永遠都是一個負值。
- 任何線性函數f(x)=ax+b既是凸函數也是凹函數。
- 函數f(x)=\sin(x)在區間[0, \pi]是凹的。
- 函數\log |B|是一個凹函數，當中|B|是一個非负定矩陣的行列式。
注释
参见
- 凸函数
评论 (0)