定义
一般定义
向量組的秩即為向量組中的任一最大線性無關組所含有的向量個數.
维数定义
在向量空间\Rn中任意向量组构成的集合\{X_1,X_2,...,X_r\}（可能是无限的），那么该与该向量组对应的向量子空间的维数r≤n那么这个n就叫该向量组的秩.
举例
舉例來說，設有一向量組S: \{a_1, a_2, ..., a_m \}，若存在r個向量a_1, a_2, ... , a_r \in S，且r個向量為向量組S的最大線性無關組，則此最大線性無關組的向量個數r，即為向量組S的秩.
假设矩阵A的列秩为r，记矩阵A的列向量为c_1, c_2, \cdots, c_n，于是能找到r个线性无关的列向量，使得等式x_1 c_{i_1} + x_2 c_{i_2} + \cdots + x_r c_{i_r} = 0只有零解.另一方面，可知此线性方程组只有零解当且仅当它的行向量组的秩\ge r.于是能在此线性方程组的系数矩阵中找到r个线性无关的行向量.注意到这些行向量是由矩阵A的行向量缩短得到的.给这些行向量增加若干个分量，我们就得到矩阵A的r个线性无关的行向量.因此矩阵A的行秩必然\ge列秩.同样可证矩阵A的列秩\ge行秩.所以行秩等于列秩.记之为矩阵的秩.
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