單位元

單位元（unit element）也称恒等元（identity element）、中立元（neutral element）、恒元，是集合裏的一種特殊元素，與該集合裏的二元運算有關。單位元和其他元素結合時，並不會改變那些元素。單位元在群和其他相關概念中都有使用。

設(S,)為一帶有一二元運算的集合S（稱為原群）。若S內有一元素e對S內所有元素a满足ea=a，則e被稱為左單位元；若满足ae=a，则稱為右單位元。而若e同時為左單位元及右單位元，則稱為雙邊單位元，又簡稱為單位元。

對應加法的單位元稱為加法單位元（通常被標為0），而對應乘法的單位元則稱為乘法單位元（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。

例子
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如最後一個例子所示，有多個左單位元是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元。同樣地，右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元，則它們會相同，且仅存在一個雙邊單位元。要證明這個，設I為左單位元且r為右單位元，則I=Ir=r。特別的，不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元e和f，則ef必同時等於e和f。

一個代數也可能沒有單位元。最常见的例子為向量的內積和外積。前者缺乏單位元的原因在於，相乘的兩個元素都會是向量，但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元的原因則在於，任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交，因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。

参考
另見

• 逆元素
• 加法逆元
• 么半群;}-
• 單作
• 擬群

عمل دوتایی#عضو خنثی