费雪变换

费雪变换（）是统计学中用于相关系数假设检验的一种方法。对样本相关系数进行费雪变换后，可以用来检验关于总体相关系数ρ的假设。

定义
已知组双变量样本，样本相关系数为
:r = \frac{\sum ^N _{i=1}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum ^N _{i=1}(X_i - \bar{X})^2} \sqrt{\sum ^N _{i=1}(Y_i - \bar{Y})^2}}

于是，的费雪变换可定义为

:z := {1 \over 2}\ln\left({1+r \over 1-r}\right) = \operatorname{arctanh}(r).

当为二元正态分布且对相互独立时，近似为正态分布。其均值为
:{1 \over 2}\ln\left({{1+\rho} \over {1-\rho}}\right),

标准差为
:{1 \over \sqrt{N-3}},

其中是样本大小，是变量与的总体相关系数。

费雪变换及其逆变换
:r = {{\exp(2z)-1} \over {\exp(2z)+1}} = \operatorname{tanh}(z),

可以用于构造的置信区间。

参考文献