高斯常數

{{Infobox number
| name=高斯常數
| number=0.8346268
| symbol=G
| OEIS=A014549
| 發現者=卡爾·弗里德里希·高斯
| other name=
| type=無理數
超越數
| define= G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})}
| root of=
| 連分數=[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36...]
| series=
| basedata =
}}

高斯常數符號為G，是1和根號2之算术-几何平均数的倒數：

: G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})} = 0.8346268\dots.

此數學常數得名自卡爾·弗里德里希·高斯，他在1799年5月30日發現

: G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}

因此

: G = \frac{1}{2\pi}B( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2})

其中B為貝塔函數。

和其他常數的關係
高斯常數常用來表示\color{blue}\Gamma(\frac{1}{4})的數值。

: \Gamma( \tfrac{1}{4}) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } }

換句話說

: G = \frac{[\Gamma( \tfrac{1}{4})]^2}{2\sqrt{ 2\pi^3}}

因為\pi和\Gamma(\frac{1}{4})互相代數獨立，且\Gamma(\frac{1}{4})為無理數，因此高斯常數為超越數。

Lemniscate常數
高斯常數常用來定義lemniscate常數，第一lemniscate常數為：

: L_1\;=\;\pi G

第二lemniscate常數為：

: L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}

在計算伯努利雙紐線的弧长時會出現這些常數。

其他公式
以下是一個用Θ函數定義高斯常數的公式

: G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi})

也可以用以下快速收斂的級數表示

: G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.

高斯常數也可以用無窮乘積表示：

:G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).

在以下的定積分中也有高斯常數

: {\frac{1}{G}} = \int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin(x)}dx=\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos(x)}dx

: G = \int_0^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{\cosh(\pi x)}}}

高斯常數的连分数為[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

相關條目
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參考資料
*

• Sequences A014549 and A053002 in OEIS