传播子

在量子力學以及量子场论中的传播子（propagator；核子，kernel），是描述粒子在特定時間由一處移動到另一處的機率幅，或是粒子以特定能量及動量移動的機率幅。传播子也是场的运动方程的格林函数。物理学家使用核子计算费曼图以及散射过程的概率。

量子力学
自由粒子（波包）的核子是

{{Equation box 1|border|indent=:|equation=K(x,x';t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\,e^{ik(x-x')} e^{-i\hbar k^2 t/(2m)}=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar t}\right)^{1/2}e^{-m(x-x')^2/(2i\hbar t)} ~.|cellpadding=6|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

量子諧振子的

{{Equation box 1|border|indent=:|equation=K(x,x';t)=\left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin \omega t}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{m\omega((x^2+x'^2)\cos\omega t-2xx')}{2i\hbar \sin\omega t}\right) ~.|cellpadding=6|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}

通过泛函积分，核子等于

K(x, x'; t, t') = \int Dx(t) \ \exp(i\int_{t}^{t'}L(x, \dot{x}; t) \ dt)

x(t) = x, \ x(t') = x'

L是拉氏量。

量子场论
克莱因-戈尔登方程
克戈场论（Klein-Gordon）的Feynman传播子

\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 - m^2 + i\epsilon}.

据黄教授说，这是

G_\mathrm{F}(x,y)
= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\epsilon}
= \begin{cases}

\dfrac{1}{4 \pi} \delta(s) + \dfrac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & \text{ if } s \geq 0 \\
\dfrac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & \text{if} s

H是汉克尔函数，K是贝塞尔函数，δ是狄拉克δ函数，s^2 = x^{\mu} x_{\mu}。

Feynman传播子使用下面的曲线积分（contour integral，留数定理）

Feynman传播子也等于下面的真空期望值：

G_F(x-y) = -i\langle 0|T\phi(x)\phi(y)| 0 \rangle

= -i\langle 0|\theta(x^0-y^0)\phi(x)\phi(y) + \theta(y^0-x^0)\phi(y)\phi(x)| 0 \rangle

上面T是路径排序算子，\theta是单位阶跃函数。

狄拉克方程
\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\epsilon} = {1 \over p\!\!\!/ - m + i\epsilon}.

S_F(x-y) = \int{{d^4 p\over (2\pi)^4} \, e^{-i p \cdot (x-y)} }\, {(\gamma^\mu p_\mu + m) \over p^2 - m^2 + i \epsilon}

= \left({\gamma^\mu (x-y)_\mu \over |x-y|^5}

{ m \over |x-y|^3} \right) J_1(m |x-y|).

传播子也是格林函数

S_F(x-y) = (i \partial\!\!\!/ + m) G_F(x-y)

这描述费米子、电子。

量子电动力学和其他杨-米尔斯场论
光子传播子是

{-i g^{\mu\nu} \over p^2 + i\epsilon }.

\frac{g_{\mu\nu} - k_\mu k_\nu / m^2}{k^2-m^2 + i \epsilon} + \frac{k_\mu k_\nu /m^2}{k^2 -
m^2/\lambda + i \epsilon}.

D_{\mu \nu}(k) = \frac{-i}{k^2 + i\epsilon} (g_{\mu \nu} - (1-\xi)\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2})

也阅读FP鬼子，给予膠子传播子或杨米尔斯传播子：

\langle A_{\mu}^a(x)A_{\nu}^b(y)\rangle =D_{\mu \nu}(x-y)^{ab} = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{-ie^{-ik(x-y)}}{k^2 + i\epsilon} \delta^{ab}(g_{\mu \nu} - (1-\xi)\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2})

选择\xi 需要规范固定。

引力子
重力子的传播子是

G_{abcd}(k) = \frac{g_{ac}g_{bd}+g_{bc}g_{ad} - g_{ab}g_{cd}}{k^2}

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