外尔方程式

在量子力學及量子場論等領域，外尔方程式（）為一相對論量子力學的波動方程式，用以描述無質量的自旋½粒子。其以德國數學家赫尔曼·外尔為名。

方程式
外尔方程式的廣義形式可寫為：

: \sigma^\mu\partial_\mu \psi=0

在SI單位中可寫為：
: I_2 \frac{1}{c}\frac{\partial \psi}{\partial t} + \sigma_x\frac{\partial \psi}{\partial x} + \sigma_y\frac{\partial \psi}{\partial y} + \sigma_z\frac{\partial \psi}{\partial z}=0

其中
: \sigma_\mu = (\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)= (I_2,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)

為一向量。μ = 0分量為2 × 2 單位矩陣；μ = 1,2,3分量為包立矩陣。ψ則是波函數，為外尔旋量一例。

外尔旋量
其組成有ψL與ψR，分別為左手（Left-handed）外尔旋量及右手（Right-handed）外尔旋量，各自有兩個分量。兩者皆有下列形式：
: \psi = \begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\end{pmatrix} = \chi e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}= \chi e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar}

其中
: \chi = \begin{pmatrix}
\chi_1 \\
\chi_2 \\
\end{pmatrix}

為具有二常數分量之旋量。

既然粒子是不具質量的，亦即m = 0，動量p的範數為波向量k的簡單乘積，由德布羅伊關係所描述：
: |\mathbf{p}| = \hbar |\mathbf{k}| = \hbar \omega /c \, \rightarrow \, |\mathbf{k}| = \omega /c

方程式可以左手及右手旋量來表示：
:\begin{align} & \sigma^\mu \partial_\mu \psi_R = 0 \\
& \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L = 0
\end{align}

推演
透過拉格朗日密度可得方程式：
: \mathcal L = i \psi_R^\dagger \sigma^\mu \partial_\mu \psi_R
: \mathcal L = i \psi_L^\dagger \bar\sigma^\mu \partial_\mu \psi_L

將旋量及旋量的埃爾米特伴隨（以 \dagger 標記）當作獨立變數處理，則可得外尔方程式。

相關條目

• 狄拉克方程式（描述帶質量的自旋½粒子）
• 角動量算符
• 動量算符
• 自旋

參考資料
延伸閱讀

• Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
• Particle Physics (2nd Edition), B.R. Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
• Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
• The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

外部連結

• [https://web.archive.org/web/20140307120752/http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html The Primacy of The Weyl Equation]
• [https://web.archive.org/web/20160304064531/http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf Dirac-Weyl equation]，石墨烯例子。
• [https://web.archive.org/web/20131209101939/http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf WEYL SPINORS AND DIRACíS ELECTRON EQUATION]