全機率定理

全機率定理(Law of total probability)，假設{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一個概率空間的有限或者可數無限的分割（既 Bn为一完备事件组），且每个集合Bn是一个可测集合，则对任意事件A有全概率公式：

:\Pr(A)=\sum_{n} \Pr(A\cap B_n)\,

又因为
:\Pr(A\cap B_n) = \Pr(A\mid B_n)\Pr(B_n),

此处Pr(A | B)是B发生后A的条件概率，所以全概率公式又可写作：

:\Pr(A)=\sum_{n} \Pr(A\mid B_n)\Pr(B_n).\,

全概率公式将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况或不同原因 Bn下发生的简单事件的概率的求和问题。

条件概率的期望值
在离散情况下，上述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立：

:\Pr(A)=E(\Pr(A\mid N))

此处N是任意随机变量。

这个公式还可以表达为：

:"A的先验概率等于A的后验概率的事前期望值。

参见

• 雙重期望值定理
• 全變異數定理
• law of total cumulance