Q查理耶多项式

q查理耶多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式

:\displaystyle c_n(x;a;q) = {}_2\phi_1(q^{-n},q^{-x};0;q,-q^{n+1}/a)

极限关系
令Q查理耶多项式 a→a*(1-q),并令q→1，即得查理耶多项式

lim_{q \to 1}C_{n}(q^{-n};a(1-q);q)=C_{n}(x;a)

;验证Q查理耶多项式→查理耶多项式

Q查理耶多项式之第4项(k=4):

{\frac { \left( 1-{q}^{-n} \right) \left( 1-{q}^{-n}q \right)
\left( 1-{q}^{-n}{q}^{2} \right) \left( 1-{q}^{-n}{q}^{3} \right)
\left( 1-{q}^{-x} \right) \left( 1-{q}^{-x}q \right) \left( 1-{q}^{
-x}{q}^{2} \right) \left( 1-{q}^{-x}{q}^{3} \right) \left( {q}^{n}
\right) ^{4}{q}^{4}}{{a}^{4} \left( 1-q \right) ^{5} \left( 1-{q}^{2}
\right) \left( 1-{q}^{3} \right) \left( 1-{q}^{4} \right) }}

展开之：
\frac{1}{24}\,{\frac {36\,nx-66\,n{x}^{2}+36\,n{x}^{3}-6\,n{x}^{4}-66\,{n}^{2}
x+121\,{n}^{2}{x}^{2}-66\,{n}^{2}{x}^{3}+11\,{n}^{2}{x}^{4}+36\,{n}^{3
}x-66\,{n}^{3}{x}^{2}+36\,{n}^{3}{x}^{3}-6\,{n}^{3}{x}^{4}-6\,{n}^{4}x
+11\,{n}^{4}{x}^{2}-6\,{n}^{4}{x}^{3}+{n}^{4}{x}^{4}}{{a}^{4}}}

另一方面
查理耶多项式的k=4项为

\frac{1}{24}\,{\frac {{\it pochhammer} \left( -n,4 \right) {\it pochhammer}
\left( -x,4 \right) }{{a}^{4}}}

展开之

\frac{1}{24}\,{\frac {nx \left( 36-66\,x+36\,{x}^{2}-6\,{x}^{3}-66\,n+121\,nx-
66\,n{x}^{2}+11\,n{x}^{3}+36\,{n}^{2}-66\,{n}^{2}x+36\,{n}^{2}{x}^{2}-
6\,{n}^{2}{x}^{3}-6\,{n}^{3}+11\,{n}^{3}x-6\,{n}^{3}{x}^{2}+{n}^{3}{x}
^{3} \right) }{{a}^{4}}}

二者显然相等 QED

图集
参考文献
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