道森积分

道森积分（Dawson integral)由下式定义

:F(x) = e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt,

拐点
道森积分的拐点为

-.92413887300459176701

+.92413887300459176701

对称性
道森积分是反对称函数

F(-x)=-F(x)

微商
道森积分的微商是
:\frac{dF(x)}{dx}=1-2xF(x)

微分方程
:F'(y)=\int_0^{\infty}e^{-x^2}2x{\cos}(2xy)dx
:F'(y)+2yF(y)=\int_0^{\infty}2e^{-x^2}[x{\cos}(2xy)+y{\sin}(2xy)]dx=-e^{-x^2}{\cos}(2xy)|_0^{\infty}=1
而且显然F(0)=0,
因此F(y)是微分方程
:f'(y)+2yf(y)=1
在初始条件f(0)=0下的解，根据柯西-利普希茨定理解是唯一的.

其他表达式
:F\left( y \right) = \int_0^y {{e^{{t^2} - {y^2}}}{\text{d}}t}
证明:
只要证明也满足它的微分方程即可

对y求导，根据积分符号内取微分有
:F'(y)=\frac{d}{dy}e^{-y^2}\int_0^{y}e^{t^2}dt=-2ye^{-y^2}\int_0^y e^{t^2}dt+1

参考文献
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