Q拉盖尔多项式

q拉盖尔多项式是一个以基本超几何函数和Q阶乘幂定义的正交多项式

:\displaystyle L_n^{(\alpha)}(x;q) = \frac{(q^{\alpha+1};q)_n}{(q;q)_n} {}_1\phi_1(q^{-n};q^{\alpha+1};q,-q^{n+\alpha+1}x)

正交性
Q-拉盖尔多项式满足下列正交关系

:
\int_a^b \! L_n^{(\alpha)}(x;q)L_m^{(\alpha)}(x;q)(x^\alpha)/(-x;q)_\infty\,dx
=\frac{(q^\alpha+1;q)_n}{(q;q)_n*q^n}

极限关系
;小q雅可比多项式→Q拉盖尔多项式.
在校q雅可比多项式的定义中，令a=q^\alpha以及x \to -b^{-1}q^{-1},并令b \to \infty,即得q拉盖尔多项式。

;Q梅西纳多项式→Q拉盖尔多项式;
令Q梅西纳多项式中b=q^\alpha,以及q^{-x}=cq^{\alpha}x,然后取c \to \infty即得Q拉盖尔多项式。

\lim_{c \to \infty}M_{n}(cq^{\alpha}x;q^{\alpha},c;q)=\frac{(q;q)_{n}}{(q^{\alpha+1};q)_{n}}

图集
下列 :\displaystyle L_5^{(3.7)}(x+iy;q)图，以q 为可变参数。

参考文献
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