維格納半圓分布

{{Probability distribution|
name =維格納半圓分布|
type =density|
pdf_image =
||
cdf_image =
|
parameters =R>0\! radius (real)|
support =x \in [-R;+R]\!|
pdf =\frac2{\pi R^2}\,\sqrt{R^2-x^2}\!|
cdf =\frac12+\frac{x\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2} + \frac{\arcsin\!\left(\frac{x}{R}\right)}{\pi}\!
for -R\leq x \leq R|
mean =0\,|
median =0\,|
mode =0\,|
variance =\frac{R^2}{4}\!|
skewness =0\,|
kurtosis =-1\,|
entropy =\ln (\pi R) - \frac12 \,|
mgf =2\,\frac{I_1(R\,t)}{R\,t}|
char =2\,\frac{J_1(R\,t)}{R\,t}|
}}
維格納半圓分布是一以物理學家尤金·維格納(Eugene Wigner)命名的機率分佈。其機率密度函數(Probability Distribution Function)係一存在[-R,R]區間內的半圓形分佈、以(0,0)為中心點並經過適當規範化(Normalized)的結果，因而其實其函數圖型是一半橢圓形。

:f(x)={2 \over \pi R^2}\sqrt{R^2-x^2\,}\,

for −R ≤ x ≤ R, and f(x) = 0 if R < |x|.

此機率分佈可做為一大小接近無限的隨機對稱矩陣，其特徵值(Eigenvalues) 的分布限制範圍。

它是一個經過縮放的Β分布(Beta Distribution)。精確而言：當Y值有B分布(α = β = 3/2)時，則其X = 2RY – R值具備上述分佈特性。

性質
第二種切比雪夫多項式(Chebyshev Polynomial)是此分布的正交多項式 (Orthogonal Polynomial) 。對於正整數n，此分佈之第2n項動差(Moment)為：

:E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n} C_n\,

此處 X是一隨機變數，而Cn是第n項 卡塔蘭數(Catalan number)：

:C_n={1 \over n+1}{2n \choose n},\,

因此若R=2，此分佈之動差為卡塔蘭數。

(因為對稱性的關係，所有奇數項之動差皆為0)

若以 x=R\cos(\theta) 替代式子動差生成函數(Moment generating Function)內的x，則我們可以發現：

:M(t)=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^{Rt\cos(\theta)}\sin^2(\theta)\,d\theta

並得以此式子得出(詳見Abramowitz and Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_376.htm §9.6.18)] ：

:M(t)=2\,\frac{I_1(Rt)}{Rt}

式中的 I_1(z) 是一變異貝索函數(Modified bessel functions)。

同樣地，其特徵方程式：

:\varphi(t)=2\,\frac{J_1(Rt)}{Rt}

其中的 J_1(z) 是貝索函數。( 詳見 Abramowitz and Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_360.htm §9.1.20)] 。若取一有限且接近0的實數 R，則維格納半圓分布成為一狄拉克δ函数 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)

\left\{\left(r^2-x^2\right) f'(x)+x f(x)=0, \ f(1)=\frac{2 \sqrt{r^2-1}}{\pi
r^2}\right\}

與非古典機率的關係
在 非古典機率 (free probability) 理論中，維格納半圓分布有著如同常態分佈 (Normal Distribution) 在古典機率中一樣的角色。
也就是說，在非古典機率中，累積量 (Cumulant) 的角色被"自由累積量" (free Cumulant、待翻譯)。

參看

• The W.s.d. is the limit of the Kesten–McKay distributions, as the parameter d tends to infinity.
• In number-theoretic literature, the Wigner distribution is sometimes called the Sato–Tate distribution. See Sato–Tate conjecture.
• Marchenko–Pastur distribution or Free Poisson distribution

參考

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

相關連結
*Eric W. Weisstein et al., [http://mathworld.wolfram.com/WignersSemicircleLaw.html Wigner's semicircle]