解析延拓

解析延拓（）是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函数與黎曼ζ函數。

初步闡述
虛部之解析延拓]]

若 f 為一解析函數，定義於複平面 \mathbb{C} 中之一開子集 U，而 V 是 \mathbb{C} 中一更大且包含 U 之開子集。F 為定義於 V 之解析函數，並使

:\displaystyle F(z) = f(z) \qquad \forall z \in U,

則 F 稱為 f 之解析延拓。換過來說，將 F 函數限制在 U 則得到原先的f函數。

解析延拓具有唯一性：

若 V 為兩解析函數 F_1 及 F_2 的連通定義域，並使 V 包含 U ；若在 U 中所有的 z 使得

:F_1(z) = F_2(z) = f(z)，

則在 V 中所有點

:F_1 = F_2。

此乃因 F_1 - F_2 亦為一解析函數，其值於 f 的開放連通定義域 U 上為0，必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數之惟一性定理的直接結果。

应用
在复分析处理过程中定义函数的通常做法是，首先在较小的定义域中具体定义函数，然后通过解析延拓将其扩展到指定范围。在实际操作中，为了实现函数的连续性，我们需要在较小的定义域中建立函数方程， 然后通过这个方程拓展定义域。例如黎曼ζ函数和Γ函数。全覆盖的概念最早用来定义解析函数解析延拓之后的自然定义域。寻找函数解析延拓后的最大定义域的想法最后导致了黎曼面的诞生。

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