对数正态分布

{{Infobox 機率分佈|
name =对数正态分布|
type =密度|
pdf_image =
μ=0|
cdf_image =
μ=0|
parameters =\sigma \ge 0
-\infty \le \mu \le \infty|
support =x \in [0; +\infty)\!|
pdf =\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)|
cdf =\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]|
mean =e^{\mu+\sigma^2/2}|
median =e^{\mu}|
mode =e^{\mu-\sigma^2}|
variance =(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}|
skewness =(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}|
kurtosis =e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6|
entropy =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu|
mgf =(参见原始动差文本)|
char =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes|
}}
在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 Y 是正态分布的随机变量，则 \exp(Y)（指数函数）为对数正态分布；同样，如果 X 是对数正态分布，则 \ln X为正态分布。
如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。
对于 x>0，对数正态分布的概率密度函数为

:f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{ x\sigma\sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}

其中 \mu 与 \sigma 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

:\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}

方差为

:\mathrm{var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}.\,

给定期望值与方差，也可以用这个关系求 \mu 与 \sigma

:\mu = \ln(\mathrm{E}(X))-\frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right),

:\sigma^2 = \ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right).

与几何平均值和几何标准差的关系
对数正态分布、几何平均数与几何標準差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 \exp(\mu)，几何標準差等于 \exp(\sigma)。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

其中几何平均数 \mu_\mathrm{geo} = \exp(\mu)，几何標準差 \sigma_\mathrm{geo} = \exp(\sigma)

矩
原始矩为：

:\mu_1=e^{\mu+\sigma^2/2}
:\mu_2=e^{2\mu+4\sigma^2/2}
:\mu_3=e^{3\mu+9\sigma^2/2}
:\mu_4=e^{4\mu+16\sigma^2/2}

或者更为一般的矩

:\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.

局部期望
随机变量 X 在阈值 k 上的局部期望定义为

:g(k)=\int_k^\infty (x-k) f(x)\, dx

其中 f(x) 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

:g(k)=\exp(\mu+\sigma^2/2)\Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu+\sigma^2}{\sigma}\right)-k \Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu}{\sigma}\right)

其中 \Phi 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。

参数的最大似然估计
为了确定对数正态分布参数 \mu 与 \sigma 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

: f_L (x;\mu, \sigma) = \frac 1 x \, f_N (\ln x; \mu, \sigma)

其中用 f_L (\cdot) 表示对数正态分布的概率密度函数，用 f_N (\cdot)— 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

: \begin{matrix}
\ell_L (\mu,\sigma | x_1, x_2, ..., x_n)
& = & - \sum _k \ln x_k + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n) = \\ \\
\ & = & \operatorname {constant} + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n).
\end{matrix}

由于第一项相对于 \mu 与 \sigma 来说是常数，两个对数最大似然函数 \ell_L 与 \ell_N 在同样的 \mu 与 \sigma 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计
: \widehat \mu = \frac {\sum_k \ln x_k} n, \
\widehat \sigma^2 = \frac {\sum_k {\left( \ln x_k - \widehat \mu \right)^2}} n.

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