时钟问题

时钟问题（又称钟表问题）是一类与时钟有关的数学问题。这类题常见于中国大陆小学奥林匹克数学，以及中国国家公务员考试中。

概述
求解这类型题的关键在于找到时间与角之间的关系。解题中角一般用角度制表示，时间使用十二小时制。求解技巧有列方程、使用追及问题模型等。

公式
时针在12小时内转过1周（360°），故时针1小时转30°，1分钟转0.5°。分针1小时转360°，故1分钟转6°。由此可以推出以下公式：

当时间为H时M分时，时针与12点钟方向夹角的角度数（\theta_{\text{hr}}）为：
:\theta_{\text{hr}} = \frac{1}{2}(60H + M)

分针与12点钟方向夹角的角度数（\theta_{\text{min.}}）为：
:\theta_{\text{min.}} = 6M

时针与分针之间的夹角为：
:\begin{align}
\Delta\theta
&= \left|\theta_{\text{hr}} - \theta_{\text{min.}}\right| \\
&= \left|\frac{1}{2}(60H + M) - 6M\right|\\
&= \left|\frac{1}{2}(60H - 11M)\right|
\end{align}

例题
2:00到3:00之间，哪一时刻时针与分针重合？

解：当且仅当\theta_{\text{hr}}=\theta_{\text{min.}}时，时针与分针重合。依公式有，
:\begin{align}
\frac{1}{2}(60H + M) &= 6M\\
11M &= 60H\\
M &= \frac{60}{11}H
\end{align}
代入H=2，得M=10\frac{10}{11}。即2时10\frac{10}{11}分，时针与分针重合。

参见

• 时钟

参考文献