高斯函数是形式为
:f(x) = a e^{-(x-b)^2/2c^2}
的函数。其中a、b与 c为实数常数，且a > 0.
c2 = 2的高斯函数是傅立叶变换的特征函数。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅仅是另一个高斯函数，而且是进行傅立叶变换的函数的标量倍。{{notetag|高斯函数属于初等函数，但它没有初等不定积分。但是仍然可以在整个实数轴上计算它的广义积分（参见高斯积分)：
:\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}。
}}及方差作为参数表示的高斯曲线（参见正态分布）]]
半峰全宽与积分
联立高斯积分
: \int_{-\infty}^\infty a e^{-(x-b)^2/(2c^2)}\,dx=ac\cdot\sqrt{2\pi}.
: 和半峰全宽，
:: \mathrm{FWHM} = 2\sqrt{2 \ln 2 } \; \sigma \approx 2.355 \; \sigma. 解得
: \int_{-\infty}^\infty a e^{-(x-b)^2/(2c^2)}\,dx=a\cdot\sqrt{2\pi}FWHM/2.355\approx1.064 \cdot a\cdot FWHM
:
应用
高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括：
- 在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。
- 高斯函数是量子谐振子基态的波函数。
- 计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。
- 在数学领域，高斯函数在埃尔米特多项式的定义中起着重要作用。
- 高斯函数与量子场论中的真空态相关。
- 在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。
- 高斯函数在图像处理中用作预平滑核（参见尺度空间表示）。
注释
参见
*劳伦兹函数
*正态分布
*洛仑兹变换
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