反正割

{{函數
|name =反正割
|image =Arcsec.svg

|heading1 =1
|parity =非奇非偶
|domain = \left\{x\in\mathbb{R}:\left| x \right| \ge 1\right\}
|codomain = \left\{y\in\mathbb{R}:0\le y\le\pi\land y\ne\frac{\pi}{2}\right\}
\left\{y\in\mathbb{R}:0\le y\le\pi\land y\ne 90^\circ\right\}
|period = N/A
|heading2 = 1
|zero = 不存在
|plusinf = \frac{\pi}{2}
（90°）
|minusinf = \frac{\pi}{2}
（90°）
|vr1 =1
|f1 =0
|vr2 =-1
|f2 =\pi
（180°）
|heading3 = 1
|asymptote = y=\frac{\pi}{2}
（）
|root =
}}
反正割（、記為：\arcsec或\sec^{-1}）是一種反三角函數，對應的三角函數為正割函數，用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數，其輸入值與反餘弦互為倒數。

由於正割函數在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正割是單射也是可逆的，由於限制正割函數的定義域在[0,\pi]（[0, 180°]）时，其值域是全體實數，但在區間[-1,1]不存在。

符號
反正割一般記為\sec^{-1}z或\arcsec z，以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z和Sec−1 z一般用於表示多值函數。在符號\sec^{-1}z上的上標-1是表示反函數，而不是乘法逆元素。但根據ISO 31-11應將反正切函數記為\arcsec z，因為\sec^{-1}可能會與\frac{1}{\sec}混淆，\frac{1}{\sec}是餘弦函數。

定義
原始的定義是將正割函數限制在[0 , \pi]（[0, 180°]）的反函數

在複變分析中，反正割是這樣定義的：
:\arcsec x = -{\mathrm{i}}\ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{\mathrm{i}}{x^2}}\right) \,
這個動作使反正割被推廣到複數。

下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖形，可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。

直角三角形中
在直角三角形中，反正割定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的\angle A的大小，也就是：
: \sec^{-1} \frac {\mathrm{Hypotenuse}}{\mathrm{Adjacent}} = \theta\,\!

image:Rtriangle.svg|直角三角形，C為直角，對於角A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
image:Trigonometric functions and inverse6.svg|直角三角形，已知斜邊斜邊為x且鄰邊為單位長

此外在直角三角形中，若已知斜邊為x且鄰邊為單位長，x代入反正割可求得對應的角的大小：

:\sec^{-1} x= \arcsec x = \theta\,\!
因此，根據畢氏定理可以使反正割利用其他反三角函數表示：
:\sin (\arcsec x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}
:\cos (\arcsec x) = \frac{1}{x}
:\tan (\arcsec x) = \sqrt{x^2-1}

直角坐標系中
若\alpha是平面直角坐标系xOy中的一個未知的象限角，P\left( {x,y} \right)是角的终边上一点，r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0是P到原点O的距离，若已知\frac{r}{x}\,\!，則可利用反正割求得未知的象限角\alpha：

:\sec^{-1} \frac{r}{x} =\arcsec \frac{r}{x} = \alpha\,\!

級數定義
反正割函數可以使用無窮級數定義：
:
\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos\left(\frac{1}{z}\right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - [z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ] \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)}
; \qquad \left| z \right| \ge 1
\end{align}

反正割函數的泰勒展開式為：
:
\arcsec x=
\frac\pi2-\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}x^{-2n-1}=
\frac\pi2-\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}-\frac{3}{40x^5}-\frac{5}{112x^7}-\cdots

參見

• 反餘弦
• 正割
• 餘弦

註釋
參考文獻
外部連結
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