的高效解法需要组合优化和整数规划的工具。]]
应用数学（）是以应用为目的的明确的数学理论和方法的总称，研究如何将数学知识应用到其他领域（尤其是科学）的数学分支，可以说是纯数学的对应面。应用数学是数学科学与专门知识的结合。
历史上，实际应用推动了数学理论的发展，这些理论随后成为纯数学的研究对象——在纯数学中，抽象概念因其自身而被研究。因此，应用数学的活动与纯数学研究密切相关。许多数学家（如亨利·庞加莱和弗拉基米尔·阿诺德）否认「应用数学」作为独立分支的存在，认为只有「数学的应用」。区分「应用数学」（关注数学方法本身）和「数学的应用」（在科学和工程中使用已知数学）是一个常见的概念划分。
历史
从历史上看，应用数学主要包括应用分析——特别是微分方程；逼近理论（广义上包括表示论、渐近分析、变分法和数值分析）；以及应用概率。这些领域直接源于牛顿力学的发展，事实上在19世纪中叶以前，数学家与物理学家之间并无明确的分界。
分支
应用数学的分支没有统一的分类标准。经典的应用数学领域包括：
- 数学分析：微分方程（常微分方程和偏微分方程）、积分变换（傅里叶变换、拉普拉斯变换）、变分法。
- 数值分析：数值求解数学问题的算法，包括有限元法、插值逼近、线性与非线性方程求解等。
- 概率论与数理统计：随机现象的数学理论和数据分析的方法论基础。
- 最优化：线性规划、非线性规划、组合优化，广泛应用于运筹和管理科学。
- 计算数学：包括科学计算和高性能计算，用于模拟科学和工程中的现象。
一些传统上被视为纯数学的领域如今也有重要的应用。数论——历史上最纯粹的数学分支之一——在密码学和网络安全中发挥了关键作用。图论应用于网络理论，群论应用于晶体学，拓扑学应用于电路分析，微分几何应用于规范场论和广义相对论。这些领域是否属于「应用数学」仍有争议，常被归入「可应用数学」的分类。
经济学与运筹学
运筹学和管理科学在工程学院、商学院和公共政策学院中讲授。计量经济学使用概率和统计方法分析经济数据。数理经济学将数学方法应用于经济理论，涉及博弈论、最优化、数学规划等。
统计学与精算科学
应用数学与统计学有大量重叠。统计理论依赖于概率论和决策论，并广泛使用科学计算和优化方法。精算学则将概率、统计和经济理论应用于保险、金融等领域的风险评估。
学科地位
不同学术机构对应用数学的组织形式各不相同。有些大学设有单独的应用数学系（如布朗大学的应用数学部——美国历史最久的应用数学项目），而另一些大学则将纯数学与应用数学合并在同一系内。剑桥大学设有应用数学与理论物理系，其卢卡斯数学教授席位历史上由艾萨克·牛顿、查尔斯·巴贝奇、保罗·狄拉克和斯蒂芬·霍金等担任。
工业与应用数学学会（SIAM）是国际上最大的应用数学专业组织，截至2024年拥有14,000名个人会员。SIAM出版多种研究期刊并组织众多学术会议，在推动应用数学发展方面发挥着核心作用。
参见
- 计算数学
- 工程数学
- 数据科学
- 純粹數學
参考文献
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