随机矩阵

在概率論和數學物理中，隨機矩陣（）是一個矩陣值的随机变量，也就是说，一个矩阵中的所有元素都是随机变量。

應用
物理

• 原子核物理学，量子場論
• 量子混沌（quantum chaos）Bohigas–Giannoni–Schmit（BGS）猜想
• 量子光學
• 楊-米爾斯理論（量子色動力學）
• 兩維的量子引力，AdS/CFT对偶，
• 介观物理学,
• 自旋转移矩,
• 小数量子霍爾效果,
• 安德森的本地化（Anderson localization）
• 量子点,
• 超导現象

其他（AI、数学、统计）
*数论，黎曼ζ函數和其他L函数的零分布，希尔伯特–波利亚猜想，黎曼猜想
*多元变量统计

• 數值分析
• 最优控制
• 神经科学理论，混沌理论

*人工智能，机器学习，深度学习，深度神经网络

随机矩阵模型
设H是N\times N的矩阵，有下面的概率测度：

P(H) = \frac{1}{Z} e^{-N tr(V(H))}

例子，高斯模型：V(H) = H^2 / 2。

• GUE (Gaussian Unitary Ensemble)：H是埃尔米特矩阵。通过1/N展开，維格納半圓分布描述H的大N特征值的機率密度函數\rho(E)。
• 文章：
• 原始文章：

*Voiculescu, Free Probability Theory and Operator Algebras
*Speicher, Free Probability Theory (https://arxiv.org/pdf/0911.0087.pdf )

• 徐一鴻的Quantum Field Theory in a Nutshell (Large N expansion)

參考文獻