协方差函数

在概率论和统计学中, 协方差 是一种两个变量如何相关变化的度量，而协方差函数（）, 或稱核函数, 描述一个随机过程或随机场中的空间上的协方差。 对于一个随机场或 随机过程 Z(x) 在定义域 D， 一个协方差函数C(x, y) 给出在两个点x 和 y 的值的协方差：

:C(x,y):=\operatorname{cov}(Z(x),Z(y)).\,

C(x, y) 在两种情况下称为 自协方差 函数: 在时间序列 (概念一致，除了x和y 指时间点而不是空间点), 以及在多变量随机场 (指变量自己的协方差，而不是互协方差）.

可容许性
对点 x1, x2, …, xN ∈ D 为每种线性组合的方差

:X=\sum_{i=1}^N w_i Z(x_i)

可计算为

:\operatorname{var}(X)=\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N w_i C(x_i,x_j) w_j.

一个函数为有效的协方差函数当且仅当这个方差对所有可能的N和权重w1, …, wN非负。一个有这种性质的函数成为 正定.

平稳简化
对弱 平稳 随机场, 其中

:C(x_i,x_j)=C(x_i+h,x_j+h)\,

对任意延迟 h, 协方差函数可表示为一元函数：

:C_s(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,

称为 协变差图 也是 协方差函数. C(xi, xj) 可由 Cs(h) 计算:

:C(x,y)=C_s(y-x).\,

参见

• 变差函数
• 随机场
• 随机过程
• 克里格法
• 自相关函数
• 相关函数

参考文献