积空间

在拓扑学的相关领域中，积空间是指一族拓扑空间的笛卡儿积與其配备的自然拓扑结构，這個自然拓扑结构被稱為积拓扑（）。

無窮積空間
直觀動機上，一族拓扑空间笛卡儿积，最「自然」的拓撲，應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲；換句話說，設有集合族 \mathcal{X} ，具有指標集 I 與指標函數 x ：

: I \,\overset{x}{\cong}\, \mathcal{X}

且有相應的一族拓扑 \mathcal{T} 與指標函數 \tau ：

: I \,\overset{\tau}{\cong}\, \mathcal{T}
: [[拓扑空间#开集系|(\forall i \in I)
[\tau(i) \text{ is topology of } x(i)]]]

若 \tau_{\pi} 就是无穷乘积 \prod_{x} \mathcal{X} 上滿足需求的那個拓撲，那對於任意指標 j \in I ，以下的第 j 投影映射：

: \pi_j: \prod_{x} \mathcal{X} \to x(j)
: \left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right)
[\pi_{j}(f) = f(j)]

必須對所有開集 o_j \in \tau(j) 須滿足：

: {(\pi_j)}^{-1}(o_j) \in \tau_\pi

也就是說， \pi_j 必須 \tau_{\pi}- \tau(j) 连续。

首先從 \pi_j 的定義，對任意 f 有：

: \left[f \in {(\pi_j)}^{-1}(o_j)\right]
\Leftrightarrow
\left\{
\left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right)
\wedge
\big[f(j)\in o_j\big]
\right\}

那如果取個一對一函數 o: I \to \bigcup \mathcal{T} 滿足：

: (\forall i \in I)
\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]
\right\}
: o(j) = o_j

那以上的要求就可以寫為：

: {(\pi_j)}^{-1}(o_j) = \prod_{o} o(I) \in \tau_\pi

也就是除了 j \in I 取小開集，其他都選全集的無窮乘積，應該也要是 \tau_{\pi} 的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲 \tau_{\pi} ，應該是包含：

: \left\{
\prod_{o} o(I) \,\Bigg|\,
(\exists j \in I)\left\{
\left(o: I \to \bigcup \mathcal{T}\right)
\wedge
(\forall i \in I)\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]\right\}
\wedge
\big[o(j) \in \tau(j)\big]
\right\}
\right\}

的最粗拓撲，總結如下：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = 設有集合族 \mathcal{X} ，具有指標集 I 與指標函數 x ：

: I \,\overset{x}{\cong}\, \mathcal{X}

且有相應的一族拓扑 \mathcal{T} 與指標函數 \tau ：

: I \,\overset{\tau}{\cong}\, \mathcal{T}
: [[拓扑空间#开集系|(\forall i \in I)
[\tau(i) \text{ is topology of } x(i)]]]

取：

: \mathcal{C}
=
\left\{
\prod_{o} o(I) \,\Bigg|\,
(\exists j \in I)\left\{
\left(o: I \to \bigcup \mathcal{T}\right)
\wedge
(\forall i \in I)\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]\right\}
\wedge
\big[o(j) \in \tau(j)\big]
\right\}
\right\}

那在 \prod_{x} \mathcal{X} 上包含 \mathcal{C} 的最粗拓撲 \tau_{\pi} 被稱為 \prod_{x} \mathcal{X} 的積拓撲，而 \left(\prod_{x} \mathcal{X},\, \tau_\pi\right) 被稱為相應的積空間。
}}
有限積空間
如果指标集为有限，则积拓扑有更简单的表述；這是因為可以免除用函数定義无穷乘积的迂迴途徑，而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間一節來炮製更簡明的有限积拓扑：

設 (X_1,\,\tau_1),\,(X_2,\,\tau_2),\,\dots,\,(X_n,\,\tau_n) 都是拓扑空间，若對任意自然数指標 j \leq n 來說，以下的投影映射 \pi_j：

: \pi_j: \prod^{n}_{i=1} X_i \to x(j)
: \pi_{j}(a_1,\,a_2,\,\dots,\,a_n) = a_j

對於 \prod^{n}_{i=1} X_i 上的「自然拓扑 」\tau_\pi ，取任意開集 O_j \in \tau_j 應滿足：

: {(\pi_j)}^{-1}(O_j) \in \tau_\pi

也就是說， \pi_j 都應 \tau_{\pi}- \tau_j 连续。那從 \pi_j 的定義，對任意 p = (p_1,\,p_2,\,\dots,\, p_n) 有：

: \left[p \in {(\pi_j)}^{-1}(O_j)\right]
\Leftrightarrow
(\forall i \in \N)
\left\{
(p_i \in X_i)
\wedge
(p_j \in O_j)
\right\}

換句話說，這個「自然拓撲」必須滿足：

: {(\pi_j)}^{-1}(O_j) = X_1 \times \dots \times X_{j-1} \times O_j \times X_{j+1} \times \dots \times X_n \in \tau_\pi （1 ）
: {(\pi_j)}^{-1}(O_1) = O_1 \times X_2 \times \dots \times X_n \in \tau_\pi

那稍微推廣一下，對任意滿足以下條件的一對一有限開集序列：

: V:\N \to \bigcup \{\tau_1,\,\tau_2,\,\dots,\,\tau_n\}
: V(i) = V_i \in \tau_i

要求：

: \prod^{n}_{i=1} V_i = V_1 \times \dots \times V_n \in \tau_\pi

那因為 X_i \in \tau_i （母集合當然是開集合），這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件；反過來，因為：

: V_i = V_1 \times \dots \times V_n = \bigcap^{n}_{j=1} X_1 \times \dots \times X_{j-1} \times V_j \times X_{j+1} \times \dots \times X_n

所以根據開集的有限交集也是開集的性質，「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述，可以作如下的定義：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = 設 (X_1,\,\tau_1),\,(X_2,\,\tau_2),\,\dots,\,(X_n,\,\tau_n) 都是拓扑空间，取：

: \mathcal{C}
=
\left\{
\prod^{n}_{i=1} V_i \,\Bigg|\,
V_i \in \tau_i
\right\}

那在 \prod^{n}_{i=1} X_i 上包含 \mathcal{C} 的最粗拓撲 \tau_{\pi} 被稱為 \prod^{n}_{i=1} X_i 的有限積拓撲，而 \left(\prod^{n}_{i=1} X_i,\, \tau_\pi\right) 被稱為相應的有限積空間。
}}
例子
从实直线R上的标准拓扑开始，定义n份R的乘积，就得到普通的Rn上的欧几里得拓扑。

康托尔集同胚于可数个离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积，每个集合也是采用离散拓扑。

性質
如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基，則集合積 B1 × B2 × ... × Bn 是乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。

乘积空间X加上标准投影，可以用如下的泛性质来刻划：若Y是拓扑空间，并且对于每个I中的i，fi : Y → Xi是一个连续映射，则存在恰好一个连续映射f : Y → X满足对于每个I中的i如下交换图成立：

这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述泛性质可以得出映射f : Y → X连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下，检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射f : Y→ X是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用pi连续这一点。

除了连续，标准投影pi : X → Xi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真：若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间，则W不一定是X中的开集。（例如，W = R2 \ (0,1)2.）标准投影通常不是闭映射。

积拓扑有时称为点式收敛拓扑，因为：X上的一个序列 （或者网）收敛当且仅当它所有到Xi的投影收敛。特别是，如果考虑所有在空间X = RI 对于所有I上的实值函数，在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理：任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易證明，而其一般情况等价于选择公理。

和其它拓扑概念的联系

• 可分离性

** 每个T0空间的积是T0的。
** 每个T1空间的积是T1的。
** 每个豪斯多夫空间的积是豪斯多夫的。
** 每个正则空间的积是正则的。
** 每个吉洪诺夫空间的积是吉洪诺夫空间。
* 正规空间的积不一定*是正规的。

• 紧致性

** 每个紧致空间的积是紧致的（吉洪诺夫定理）
* 局部紧致空间的积不一定*是局部紧致的。

• 连通性

** 每个连通（路径－连通）空间是连通的（路径－连通的）。
** 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。

每个"局部看起来"一个标准投影F × U → U的空间称为纤维丛。

参看

• 盒拓扑
• 不交并 (拓扑学)
• 商空间
• 子空间拓扑