函數極限

儘管函數\frac{\sin x}{x}的定義域中不包括“0”，但當x無限接近於零時，\frac{\sin x}{x}就無限接近於 1，換句話說，x接近於零時，\frac{\sin x}{x}的極限是 1。

在數學中，函數極限（）是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數 f 於 a 的極限為 L ，直觀上意為當 x 無限接近 a 時，f(x) 便無限接近 L 。

正式定义
动机
如果取 \delta 為＂ x 與 a 差距的上限＂；類似地，取 \epsilon 為＂ f(x) 與 L 差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

: 若對所有的 \delta >0 ，存在 0 ，使得對所有的 x \in D_f ，只要 0 就有 \left|f(x)-L\right|

其中 \epsilon \leq \delta 是要確保 \delta 越來越小時， \epsilon 也會越來越小； 0 是為了凸顯 x 是逼近而非等於 a ，但對應的 f(x) 是可以等於 L 的。

但對於实函数 f(x) = x^2 逼近 a = 0 時，考慮到 \delta \geq 1 的部分；在 {\left|x-0\right|}^2 下是沒有這樣的 \epsilon 使得 0 且 \left|x^2-0\right| 的，但數值上 f(x) = x^2 的確在 a = 0 時很靠近 0 ，也就是 \epsilon \leq \delta 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以 x 的變化去限制 f(x) 的變化通常是很困難的，但如果反過來從 \epsilon 出發，去找怎樣的 x 會讓 f(x) 與 L 的差距小於 \epsilon ，也就是從＂若對所有的 \epsilon >0 存在 \delta >0 ＂出發的話，顯然上面 f(x) = x^2的例子只要取 \delta = \sqrt{\epsilon} 即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 \epsilon 和 \delta 的最小值為 x 與 a 差距的上限，還是會有 \left|f(x)-L\right| ，這樣就可以用 \epsilon 控制 x 的變化，而滿足＂ x 趨近於 a 時 f(x) 趨近於 L ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 \delta >0，都有 x \in D_f 使得 0 ，所以定義函數極限之前必須要求 a 為 D_f 的极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 r >0 使得 f(x) 在 0 都有定義，也就是存在 a 的去心鄰域使 f(x) 都有定義，這樣的話 a 會自動成為 D_f 的極限點。

自變量趨於有限值時函數的極限
f 為实函数， a\in\mathbb{R} 為 D_f 的極限點且 L\in\mathbb{R} ，若＂對所有的\epsilon >0，存在\delta >0，使得對所有的 x \in D_f 只要 0 就有 \left|f(x)-L\right| ＂，或以正式的邏輯符號表述為
(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f)
[\,
(\, 0

則以 \lim_{x\to a}f(x)= L 表示，稱 L 為實函數 f 於 a 的極限。

自變量趨於無窮大時函數的極限
由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域 D_f 的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的 \delta >0 存在 x \in D_f 使得 x > \delta ＂。也就是直觀上可以用定義域 D_f 裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，L\in\mathbb{R}，且若＂對所有 \epsilon >0，存在 \delta >0，使得對所有的 x \in D_f 只要 x > \delta 時，有\left|f(x)-L\right| ＂，或以正式的邏輯符號表述為
(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f)
[\,
(\, x > \delta \,)
\Rightarrow
(\, \left| f(x) - L \right|

則稱 L 為實函數 f 於正無窮大（ \infty ）的極限，記作 \lim_{x\to \infty}f(x)= L

類似的，若假設＂對所有的 \delta 存在 x \in D_f 使得 x ＂，那在這種條件下，L\in\mathbb{R}，且若＂對所有 \epsilon >0，存在 \delta ，使得對所有的 x \in D_f 只要 x 時，有\left|f(x)-L\right| ＂，或以正式的邏輯符號表述為
(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta

則稱 L 為實函數 f 於負無窮大（ -\infty ）的極限，記作\lim_{x\to -\infty}f(x)= L

制限極限
直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函數限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）：
定理

若 A\cup B = D_f 且 a 同時為 A 和 B 的极限点，則

: \lim_{x \to a} f(x) = L

等價於

: \lim_{x \to a} f|_A(x) = L 且 \lim_{x \to a} f|_B(x) = L
上述定理的證明只須注意到 a 也必為 D_f 的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到 A\cup B = D_f ，還有對 x \in A 取 \delta_A 的和 x \in B 取的 \delta_B ，那只要取 \delta 為 \delta_A 和 \delta_B 的最小值，對所有 x \in D_f 就有 (\, 0 ；反過來由原函數 f 推出 f|_A 和 f|_B 的狀況是非常顯然的。

左右極限
若取

: A =
\big\{
x \in D_f
\,|\,
x \geq a
\big\}
: B =
\big\{
x \in D_f
\,|\,
x \leq a
\big\}

如果假設 a 同時為 A 和 B 的极限点，那 A 和 B 顯然符合上面定理的要求的，而這時

: \lim_{x\to a}f|_A(x)=L

這個表達式會被別稱為＂ L 是實函數 f 於 a 的右極限＂，也可以用 \lim_{x\to a^+}f(x)=L 表示。

類似的

: \lim_{x\to a}f|_B(x)=L

這個表達式會被別稱為＂ L 是實函數 f 於 a 的左極限＂，也可以用 \lim_{x\to a^-}f(x)=L 表示。

常用公式
有理函數
以下公式中，n>0, a>1。

*\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0
*\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^x} = 0
*\lim_{x \to 0^{+}}{1\over x} = +\infty
*\lim_{x \to 0^{-}}{1\over x} = -\infty.

無理函數
*\lim_{x \to \infty}\sqrt[x]{x} = 1
*\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e

三角函數
*\lim_{x \to 0} \frac{\sin x} {x} = 1
*\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x} {x} = 0

指數函數
*\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e
*\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1
*\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1

對數函數
*\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1
*\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty
*\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty

參考