对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

定义
对偶空间
给定一个系数域为\mathbb{F}赋范向量空间（比如说一个巴拿赫空间）（其中\mathbb{F}通常是实数域\mathbb{R}或复数域\mathbb{C}），所有从到\mathbb{F}上的连续线性映射（也称为连续线性泛函）的集合称为的（连续）对偶空间，记作：.
对偶范数
可以证明，是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数（\| \cdot \|'）是一种自然的范数定义方式，定义为：
:\forall f \in E', \; \; \| f \|' = \sup \left\{ |f(x)| ; \; \|x\| \leqslant 1 \right\} = \sup \left\{ \frac{\|x\|} ; x \neq 0\right\}
由于中的元素的是连续线性泛函，所以按照以上定义的范数必然存在，是一个有限正实数。引进了对偶范数後，成为一个赋范线性空间。可以证明，在对偶范数下必然是完备的，所以是巴拿赫空间。

证明：

给定一个由中元素构成的柯西序列：(f_n)_{n\in\mathbb{N}}，其中每一个f_n都是-线性泛函。由柯西序列的定义可知，
:\forall \epsilon > 0 ,\; \; \exists N \in \mathbb{N}, 使得\forall n, m > N, \; \; \|f_n - f_m \|'
所以对中任何元素，都有：
:\forall n, m > N, \; \; |f_n(x) - f_m(x)| = |(f_n - f_m)(x)| \leqslant \|f_n - f_m \|' \| x \|
这说明\left( f_n(x) \right)_{n\in\mathbb{N}}是柯西数列，因而收敛：数列的极限存在。定义函数f : \; \; E \rightarrow \mathbb{F}如下：
:f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x).
这样定义的函数 是连续线性泛函，属于。事实上：

是线性映射：

#:\forall \alpha , \beta \in \mathbb{F}, \; \; x , y \in E ,
#: f(\alpha x + \beta y) = \lim_{n\to\infty} f_n (\alpha x + \beta y) = \lim_{n\to\infty} \left[ \alpha f_n (x ) + \beta f_n(y) \right] = \alpha \lim_{n\to\infty} f_n (x ) + \beta \lim_{n\to\infty} f_n(y) = \alpha f(x ) + \beta f(y).

是连续映射：

#:将\epsilon定为1，则存在N_1 \in \mathbb{N}，使得\forall n > N_1，都有\|f_n - f_{N_1}\|' ，这说明：
#:\forall n > N_1, \; \; \|f_n \|' \leqslant \|f_{N_1}\|' + 1. 因此，\forall n > N_1, \; \; x \in E, \; \; \|x\| 都有|f_n(x)| \leqslant \|f_n\|' \|x\| \leqslant \|f_n \|' \leqslant \|f_{N_1}\|' + 1.
#:当n趋向无穷大时，就有：|f(x)| \leqslant \|f_{N_1}\|' + 1 。这说明 是连续映射。
最后证明 是序列(f_n)_{n\in\mathbb{N}}在对偶范数下的极限：
:给定\epsilon > 0 ，总能找到N\in\mathbb{N}，使得：
:\forall n, m > N, \; \; \| f_n - f_m \|' 所以，\forall x\in E, \; \; \|x\| \leqslant 1,
:|f_n(x) - f_m(x) | \leqslant \| f_n - f_m \|' \|x\| \leqslant \| f_n - f_m \|'
:当m趋向无穷大时，就有：|f_n(x) - f(x) | \leqslant \epsilon.
:因此，\forall n > N, \; \; \| f_n - f \|' = \sup \{|f_n(x) - f(x) | ; \; \|x\| \leqslant 1 \} \leqslant \epsilon.
这说明序列(f_n)_{n\in\mathbb{N}}在对偶范数下收敛到。所以是完备空间。

例子
给定两个大于1的实数和。如果两者满足：\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1，那么序列空间\ell^p和\ell^q互相是对偶空间（在同构的意义上）。\ell^p装备的是序列p-范数之时，它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的\ell^q建立等距同构。当p = q = 2时，以上性质说明，\ell^2和自身对偶。
参见
参考来源