循環連分數

循環連分數是一種可表示為以下形式的連分數：

:
x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{\ddots}{\quad\ddots\quad a_k + \cfrac{1}{a_{k+1} + \cfrac{\ddots}{\quad\ddots\quad a_{k+m-1} + \cfrac{1}{a_{k+m} + \cfrac{1}{a_{k+1} + \cfrac{1}{a_{k+2} + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}\,

前k+1個部分分母不算，後面的部分分母[ak+1, ak+2,…ak+m]會一直重覆出現。例如\sqrt2即可表示為循環連分數[1,2,2,2,...]。

循環連分數的部份分母{ai}可以是任何實數或虛數。

1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，若且唯若此數為二次無理數。例如\sqrt{3}=1.732\ldots=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots]。

在此條目以下的內容會限制在部份分母為正整數的循環連分數。
純循環連分數以及循環連分數
因為循環連分數的分子都是1，因此可以用以下簡化的方式記錄循環連分數：

:
\begin{align}
x& = [a_0;a_1,a_2,\dots,a_k,a_{k+1},a_{k+2},\dots,a_{k+m},a_{k+1},a_{k+2},\dots,a_{k+m},\dots]\\
& = [a_0;a_1,a_2,\dots,a_k,\overline{a_{k+1},a_{k+2},\dots,a_{k+m}}]
\end{align}

第二行的括線表示循環的部份。有些教材書會用以下的寫法

:
\begin{align}
x& = [a_0;a_1,a_2,\dots,a_k,\dot a_{k+1},a_{k+2},\dots,\dot a_{k+m}]
\end{align}

循環部份的第一個數字和最後一個數字上方加上點識別。

若循環連分數中都是循環部份，沒有不循環的第一部份，也就是k = -1, a0 = am，則

:
x = [\overline{a_0;a_1,a_2,\dots,a_{m-1}}],

這樣的循環連分數稱為純循環連分數（purely periodic）。例如黃金比例φ的循環連分數是[1; 1, 1, 1, \dots]，就是純循環連分數，而\sqrt2的循環連分數是[1; 2, 2, 2, \dots]，是循環連分數，不是純循環連分數。
和單位模矩陣之間的關係
循環連分數可以和實數的二次無理數一一對應。其對應關係在有提到。先考慮以下的純循環連分數
:
x = [0;\overline{a_1,a_2,\dots,a_m}],

此純循環連分數可以寫成
:x = \frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}
其中\alpha,\beta,\gamma,\delta是整數，滿足\alpha \delta-\beta \gamma=1.。其確切值可以用以下方式求得
:S = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}
表示移位，因此
:S^n = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1\end{pmatrix}
以下這個類似反射
:T\mapsto \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}
而T^2=I。這些矩陣都是，其乘積仍是單位模矩陣。針對上述的x，對應的矩陣如下
:S^{a_1}TS^{a_2}T\cdots TS^{a_m} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{pmatrix}
而
:x = [0;\overline{a_1,a_2,\dots,a_m}] = \frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}
是其顯式式。因為所有的矩陣元素都是整數，矩陣也屬於 SL(2,\mathbb{Z}).。
文內注釋
參考資料
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• (This is now available as a reprint from Dover Publications.)