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特殊直角三角形

Wikipedia · 2025-02-04 维基百科 👁 1 阅读

表示三角形中一些特殊的三角形]]
特殊直角三角形是一些有特殊性質的直角三角形，其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便，或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係，例如45–45–90度三角形，這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係，例如各邊的比例可以用自然數表示，例如3 : 4 : 5，或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係，可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。

各角有特殊關係
直角三角形的各角有其基本關係：最大角（直角）為90度，也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。

直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成，若角度為30°, 45°或60°，其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。

以下是一些特殊角的三角函數

45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比烏斯三角形，任一內角都可以找到對應整數，使內角和整數的乘積為180，參照。

45–45–90度三角形
在平面幾何中，將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為1:1:2的三角形，而內角和為180度（或是\pi弧度），因此各角角度為45° （\frac{\pi}{4}）、45° （\frac{\pi}{4}）和90° （\frac{\pi}{2}）。依畢氏定理可得其邊長比例為1:1:\sqrt{2}，因此45–45–90度三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線，中線會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形，邊長是原來的\frac{1}{\sqrt{2}}。

45–45–90度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。

30–60–90 度三角形
若三角形各角的比例是1:2:3，其各角角度會是30°、60°和90°。各邊的比例會是1:\sqrt{3}:2。

使用三角函數可以證明上述的事實．利用幾何學的證明如下：

:繪製邊長為2的正三角形ABC，並令D點為線段BC的中點。連接線段AD，則三角形ABD為 30–60–90度三角形，其斜邊長度為2，一股BD長度為1。

:另一股AD的長度為\sqrt{3}，可以由畢氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單：假設三個角的角度為等差數列，可以表示為為\alpha, \alpha + \delta, \alpha + 2\delta，因為內角和為180°，可得3\alpha + 3\delta = 180^\circ，其中有一角會是60度，而且最大角需為90度，因此最小角會是30度。

角度呈等比數列的直角三角形
在平面幾何中，30–60–90度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形，角度呈等比數列的直角三角形也只有一種，其角度為\frac{\pi}{2\varphi ^2}、\frac{\pi}{2\varphi}、\frac{\pi}{2}，其中公比為黃金比例\varphi。三個內角的比例為 1:\varphi:\varphi^2.\, 。

根據正弦定律，各邊的比例會是 \sin{\frac{\pi}{2\varphi^2}}:\sin{\frac{\pi}{2\varphi}}:1。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理，因此可得 \sin^2{\frac{\pi}{2\varphi^2}}+\sin^2{\frac{\pi}{2\varphi}}=1{{NoteTag|根據黃金比例的定義，\frac{1}{\varphi}=\varphi-1，由於\sin \frac{\pi}{2\varphi}=\cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2\varphi} \right)=\cos\left( \frac{\varphi \pi}{2 \varphi}-\frac{\pi}{2\varphi} \right)=\cos \frac{(\varphi-1) \pi}{2 \varphi}=\cos \frac{\frac{1}{\varphi} \pi}{2 \varphi}=\cos \frac{\pi}{2 \varphi^2}，因此原式成立。}}。

各邊有特殊關係
若三角形各邊為整數，三角形的三邊稱為勾股數，其各角的角度不會是整數。這類的直角三角形容易記憶，而且三角形的各邊比例只要一様，即為相似三角形，就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式，勾股數的比例比必定滿足以下的關係

:m^2-n^2 : 2mn : m^2+n^2\,

其中m和n均為正整數，而且m>n。

常見的勾股数
以下是前五個勾股数：
:

其中3:4:5三角形是唯一邊長呈等差數列的直角三角形，在埃及稱為「埃及三角形」。由勾股数的有理數組成的三角形都是海倫三角形，表示其邊長和面積都是有理數。

以下是所有二股都小於256的互質勾股数組：
:

斐波那契三角形
從5開始，斐波那契數列中的第6項、第8項、第10項……等偶數項（假設0為第1項）{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊，也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和，較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。

第一個斐波那契三角形邊長為5, 4和3。跳過數字8，下一個斐波那契三角形邊長為13, 12（5 + 4 + 3）和5（8 − 3）。跳過數字21，下一個三角形邊長為34, 30（13 + 12 + 5）和16（21 − 5）。此數列會一直延伸，最後會趨近以下的比值：

:1:2:\sqrt{5}.

Andrew Clarke建議將長度比例為1:2:\sqrt{5}的三角形稱為dom，因為此三角形可以由二格骨牌（domin）延對角線切割而成，此三角形是約翰·何頓·康威及提出的的基礎。

幾乎等腰的直角三角形
等腰直角三角形的三邊不可能都是整數，但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形，也就是直角三角形的邊長為整數，而且二股長度只差一。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程遞迴求解而得：

:a_0=1, b_0=2
:a_n=2b_{n-1}+a_{n-1}
:b_n=2a_n+b_{n-1}

a_n為斜邊的長度，n=1,2,3,\cdots。最小的幾個三角形如下

:

各邊呈等比數列的三角形
，其公比為黃金比例]]

开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于1:\sqrt\phi:\phi，為等比數列，其中\phi是黄金比，\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}。德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。

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  • 直角三角形

註釋
參考資料
外部連結

#平面幾何 #三角形

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