凱利公式、凱利方程、凱利判據、凱利策略（、、），是一種根据赌博赢或输的概率，计算出每次下注的资金占所有赌本的最佳比例的公式，由約翰·拉里·凱利於1956年在《》中發表，可用以計算出每次遊戲中應投注的資金比例。除可將長期增長率最大化外，此方程式不允許在任何賭局中，有失去全部現有資金的可能，因此有不存在破產疑慮的優點。方程式假設貨幣與賭局可無窮分割，而只要資金足夠多，在實際應用上不成問題。
陳述
凱利公式的最一般性陳述為，藉由尋找能最大化結果對數期望值的資本比例f*，即可獲得長期增長率的最大化。對於只有兩種結果的簡單賭局：要么輸掉所有注金，要么赢得注金乘以特定賠率，公式的一般性陳述为：
: f^* = \frac{bp-q}{b} = \frac{p(b + 1) - 1}{b},
其中
- f*為現有資金應進行下次投注的比例；
- b為投注可得的賠率（不含本金）；
- p為獲勝率；
- q為落敗率，即1 - p；
舉例而言，若一賭博有60%的獲勝率（p = 0.6，q = 0.4），而且賭客在贏得賭局時，可獲得一赔一的賠率（b = 1），則賭客應在每次機會中下注現有資金的20%（f* = 0.2），以最大化資金的長期增長率。
如果赔率没有优势，即 b f^，有p的概率会以b的赔率赢钱，这时资产变为1+f^b。如果输了，资产就是1-f^*。因此资产的对数的期望值为
: E = p\log(1+f^b) + (1-p)\log(1-f^)
要找到最大化这个期望值的f^，只需令E对f^的导数值为零：
: \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}f^} = \frac{pb}{1+f^b} - \frac{1-p}{1-f^*} = 0
求解上述方程即得凯利公式
: f^* = \frac{pb+p-1}{b}
在凯利最初发表的论文中有着更一般而更严谨的证明。
劣勢
凯利公式原本是为了协助规划电子比特流量设计，后来被引用于赌二十一点上去，麻烦就出在一个简单的事实，二十一点并非商品或交易。赌二十一点时，可能会输的赌本只限于所放进去的筹码，而可能会赢的利润，也只限于赌注筹码的范围。但商品交易输赢程度是連續的，会造成资产或输赢有很大的震幅。
較早的發現
1738年丹尼尔·伯努利曾提出等價的觀點，可是伯努利的文章直到1954年才首次譯成英語。不過對於只投資一次的人來說，應選擇算術平均最高的投資組合。
參考
外部連結
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