反餘弦

{{函數
|name =反餘弦
|image =Arccos.svg

|heading1 =1
|parity =非奇非偶函数
|domain = [-1, 1]
|codomain = [0 , \pi]
（[0,180°]）
|period = N/A

|heading2 = 1
|zero = \frac{\pi}{2}
（90°）
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = \pi
（180°）
|min = 0
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = N/A
|root = 1
|critical =
|inflection = \left( 0,\tfrac{\pi}{2}\right)
\left( 0,90^\circ\right)
|fixed = y軸為弧度時：

0.7390851332152...
（42.3464588340929...°）

y軸為角度時：
0.999847741531088...°
（0.0174506351083467...）
|notes = k是一個整數。
}}
反餘弦（arccosine, \arccos, \cos^{-1}）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反餘弦被定義為一個角度，也就是餘弦值的反函數，然而餘弦函數是雙射且不可逆的而不是一個對射函數（即多個值可能只得到一個值，例如1和所有同界角），故無法有反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反餘弦是單射和滿射也是可逆的，另外，我們也需要限制值域，且限制值域時，不能和反正弦定義相同的區間，因為這樣會變成一對多，而不構成函數，所以我們將反餘弦函數的值域定義在\left[0, \pi\right]（[0,180°]）。另外，在原始的定義中，若輸入值不在區間[-1,1]，是沒有意義的，但是三角函數擴充到複數之後，若輸入值不在區間[-1,1]，將傳回複數。

命名
反餘弦的數學符號是\arccos，最常被記為\cos^{-1}。在不同的編程語言和有些計算器則使用acos或acs。

定義
原始的定義是將餘弦函數限制在[0 , \pi]（[0,180°]）的反函數

在複變分析中，反餘弦是這樣定義的:
:\arccos x = -{\mathrm{i}}\ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,

这样反餘弦函数的定义域就推廣到複數域中。

性質
反餘弦函數是一個定義在區間\left[-1, 1\right]的嚴格遞減連續函數。

:\arccos: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[0, \pi\right]
:（\arccos: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[0, 180^\circ\right]）
其圖形是對稱的，即對稱於點\left(0,\frac\pi 2\right)，或表示為\left(0,90^\circ\right)，所以滿足\arccos x=\pi-\arccos\left(-x\right)=180^\circ-\arccos\left(-x\right)

反餘弦函數的導數是：

\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

反餘弦函數的泰勒級數是：

:
\begin{align}
\arccos x & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin x \\
& {}= \frac {\pi} {2} - (x + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{x^7} {7} + \cdots ) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | x | \le 1
\end{align}

基於上述級數在| x |接近1時收斂速度十分緩慢，在x=-1求得的泰勒級數是：

:
\begin{align}
\arccos x & {}= \pi - \sqrt{2(x+1)}\left(1+\left( \frac {1} {4} \right) \frac {x+1} {3}+ \left( \frac {1 \cdot 3} {4 \cdot 8} \right) \frac {(x+1)^2} {5}+ \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {4 \cdot 8 \cdot 12 } \right) \frac{(x+1)^3} {7} + \cdots\right) \\
& {}= \pi - \sqrt{2(x+1)}\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{3n}(n!)^2} \right) \frac {(x+1)^n} {(2n+1)}
\end{align}

由於先前描述的對稱關係\arccos x=\pi-\arccos\left(-x\right)，可由上式計算| x |接近1時的反餘弦值。

也可以用反餘弦和差公式將兩個餘弦值合併成一個餘弦值:
:
\arccos x_1+\arccos x_2=
\begin{cases}
\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1+x_2\ge0\\
2\pi-\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1+x_2

:
\arccos x_1-\arccos x_2=
\begin{cases}
-\arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1\ge x_2\\
\arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1.

應用
直角三角形的輻角為其鄰邊和斜邊之間的比率的反餘弦值。

參見
*餘弦
*反正弦

Inverse_trigonometric_functions#Inverse_trigonometric_functions