反正弦（arcsine，\arcsin，\sin ^{-1}）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反正弦被定義為一個角度，也就是正弦值的反函數。在实数域\mathbb R内，正弦函數的值域为\left[-1, 1\right]，不是一個双射函數，故在整个定义域上無法有单值的反函數；但若限定正弦函數的定義域在\left[-\frac\pi 2 +k\pi, \frac\pi 2 +k\pi\right]（[180^\circ k-90^\circ, 180^\circ k+90^\circ]）内，则正弦函数有反函数。在实数域内，通常将反正弦函数的定義域限制在區間\left[-1, 1\right]，值域限制在區間\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]（[-90^\circ, 90^\circ]）中；若利用自然对数，则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集，但这样一来反正弦函数也将变成多值函数。
命名
反正弦的符號是arcsin，也常常写作\sin ^{-1}。如此写法可以被接受的理由是，正弦函數的倒數是余割，有單獨的寫法，因此不易和\sin ^{-1}混淆。另外在某些計算機的按鍵或電腦的編程語言中，反正弦會以asin或asn表示。
定義
原始的定義是將正弦函數限制在\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]（[-90^\circ, 90^\circ]）的反函數，得到如下定義域和值域：
:\arcsin: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]
:（\arcsin: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[-90^\circ, 90^\circ\right]）
利用自然對數可將定義推廣到整個複數集：
:\arcsin x = -{\mathrm{i}}\ln \left({\mathrm{i}}x + \sqrt{1 - x^2}\right) \,
運算
反正弦函数的导数是：
:\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
:故实数域内，它在整个定义域上单调递增。
:反正弦函数的泰勒级数是：
:
\arcsin x=
\sum_{k=0}^\infty{-\frac12\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}
=x+\frac16x^3+\frac3{40}x^5+\frac5{112}x^7+\cdots
.
反正弦函数是奇函数，故：
\arcsin\left(-x\right)=-\arcsin x
另外，反正弦的和差也可以合并成一個反正弦來表達：
:
\arcsin x_1\pm\arcsin x_2=
\begin{cases}
X&
\pm x_1x_2\le0\lor x_1^2+x_2^2\le1\\
\pi-X&
x_1>0\land\pm x_2>0\land x_1^2+x_2^2>1\\
-\pi-X&
x_11
\end{cases}
其中X=\arcsin\left(x_1\sqrt{1-x_2^2}\pm x_2\sqrt{1-x_1^2}\right)。
和差公式：
:\arcsin(x \pm y)=\arcsin\left(\sqrt{\frac{1+x^2-y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right) \pm \arcsin\left(\sqrt{\frac{1-x^2+y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right)
倍變數公式：
\arcsin(2x)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{2}}\right)
\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{2}}\right)
\arcsin(kx)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-k^2x^2}}{2}}\right)（对0 ≤ kx ≤ 1）
:
\arcsin(sinx)=
\begin{cases}
-(X+\pi)&
x\in[-\pi,-\frac{\pi}{2}]\\
X&
x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \\
\pi-X&
x\in[\frac{\pi}{2},\pi]
\end{cases}
參見
*正弦
*反餘弦
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